为什么仅排除候选极限 $L=1$ 和 $L=-1$ 不足以证明序列 $a_n = (-1)^n$ 发散？

适用条件

• 序列定义为 $a_n = (-1)^n$。
• 证明需要排除所有 $L \in \mathbb{R}$。

理解与推导

1. 假设存在一个假想的极限 $L$。
2. 应用三角不等式：$2 = |1 - (-1)| \le |1 - L| + |-1 - L|$。
3. 推导出距离 $|1-L|$ 或 $|-1-L|$ 中至少有一个必须 $\ge 1$。
4. 选择 $\varepsilon = 1$。对应较远点的子序列中的项将始终位于区间 $(L-\varepsilon, L+\varepsilon)$ 之外。
5. 得出结论：没有任何单一的 $L$ 能满足对所有足够大的 $n$ 成立的条件。

例子

如果我们选 $L=0$，则 1 和 -1 的距离都是 1。若取 $\varepsilon=1$，根据严格不等式定义，它们不在开区间内；或者更一般地，对于任意 $L$，总有一簇点远离它。

容易误解的地方

• 认为检查可见的振荡点（1 和 -1）就涵盖了所有可能性。
• 混淆“极限不存在”与“极限为无穷大”。

观看对应讲解

继续追问

• 极限定义的形式否定如何应用于此？
• 子序列在确定收敛性中起什么作用？