为什么割线斜率公式被认为是有限区间上的平均变化率？

适用条件

• 选择曲线上的两个不同点：$(x_0, f(x_0))$ 和 $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$。
• $\Delta x \neq 0$。

理解与推导

1. 识别垂直变化：$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$。
2. 识别水平变化：$\Delta x$。
3. 将垂直变化除以水平变化得到斜率。
4. 认识到该比率对整个 $\Delta x$ 跨度上函数的局部变化进行了平均。

例子

脚本介绍了绘制在 $(x_0, f(x_0))$ 和 $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$ 之间的绿色割线。其斜率代数式写作 $[f(x_0 + \Delta x) − f(x_0)] / \Delta x$，代表区间上的平均变化率。

容易误解的地方

• 认为割线斜率给出了起始点 $x_0$ 处的确切速度。
• 认为对于非线性函数，平均变化率没有意义。

观看对应讲解

继续追问

• 缩小区间如何将平均变化率转化为瞬时变化率？
• 割线的几何解释是什么？