为什么必须在子矩形内选择一个点 $(x_k,y_k)$？

适用条件

• 域被划分为子矩形。
• 函数 $f(x,y)$ 定义了曲面高度。

理解与推导

1. 认识到子矩形包含无限多个点。
2. 理解函数 $f(x,y)$ 在子矩形上是变化的。
3. 在子矩形内选择单个样本点 $(x_k,y_k)$。
4. 评估 $f(x_k,y_k)$ 以获得特定的高度值。
5. 使用此高度计算该子矩形上方盒子的体积。

例子

演讲者解释说：“因为子矩形是一个完整的小区域，他需要选择一个特定的点代入函数……不同的人可以对那个点的位置做出不同的选择。”二维图显示了红色矩形内标有 $(x_k,y_k)$ 的黄点。

容易误解的地方

• 认为盒子的高度自动由子矩形的边界决定。
• 认为子矩形内只有一个正确的点可供选择。
• 假设函数在整个子矩形上是恒定的。

观看对应讲解

继续追问

• 无穷小底面积 $\Delta A_k$ 在体积元素中的几何作用是什么？
• 为什么样本点 $(x_k,y_k)$ 的确切选择不影响最终体积？
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