你想弄懂什么？

连续性确保了当区间宽度 $h$ 趋近于零时，$f$ 在 $[x, x+h]$ 上的平均值收敛于瞬时值 $f(x)$。如果没有连续性，局部行为可能会剧烈振荡或有跳跃，阻止差商的极限稳定在一个单一且明确定义的值 $f(x)$ 上。

适用条件：$A(x) = \int_a^x f(t) dt$；$f$ 在 $x$ 处连续

连续性确保了当区间宽度 $h$ 趋近于零时，$f$ 在 $[x, x+h]$ 上的平均值收敛于瞬时值 $f(x)$。如果没有连续性，局部行为可能会剧烈振荡或有跳跃，阻止差商的极限稳定在一个单一且明确定义的值 $f(x)$ 上。

适用条件：$A(x) = \int_a^x f(t) dt$；$f$ 在 $x$ 处连续

简化后的函数在目标点附近与原表达式一致，因为代数操作（因式分解、乘以共轭、清除分数）是等价变换，对于定义域内除目标点本身以外的所有 $x$ 都有效。极限描述的是输入趋近于某个值时函数的行为，而不是函数在该点的值。

适用条件：目标点被排除在原表达式的定义域之外。；代数简化对目标点附近的所有 $x$（$x \ne$ 目标点）有效。；简化函数的极限存在。

简化后的函数在目标点附近与原表达式一致，因为代数操作（因式分解、乘以共轭、清除分数）是等价变换，对于定义域内除目标点本身以外的所有 $x$ 都有效。极限描述的是输入趋近于某个值时函数的行为，而不是函数在该点的值。

适用条件：目标点被排除在原表达式的定义域之外。；代数简化对目标点附近的所有 $x$（$x \ne$ 目标点）有效。；简化函数的极限存在。