你想弄懂什么？

首先，对多项式 $r/2 - r^3$ 关于 $r$ 积分，得到 $r^2/4 - r^4/4$。将该原函数从 $0$ 评估到 $\sqrt{2}/2$。

适用条件：径向限为 $0$ 到 $\sqrt{2}/2$；角度积分贡献因子 $2\pi$

首先，对多项式 $r/2 - r^3$ 关于 $r$ 积分，得到 $r^2/4 - r^4/4$。将该原函数从 $0$ 评估到 $\sqrt{2}/2$。

适用条件：径向限为 $0$ 到 $\sqrt{2}/2$；角度积分贡献因子 $2\pi$

将 $x=1/2+r\cos\theta$ 和 $y=1/2+r\sin\theta$ 代入被积函数并包含雅可比 $r$ 后，由于对称性，角度部分积分结果为 $2\pi$，剩下径向积分 $\int_0^{\sqrt{2}/2} r(1/2-r^2) dr$。完整的分离形式为 $\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{2}/2} r(1/2-r^2) dr$。

适用条件：已应用平移极坐标；包含雅可比 $r$

将 $x=1/2+r\cos\theta$ 和 $y=1/2+r\sin\theta$ 代入被积函数并包含雅可比 $r$ 后，由于对称性，角度部分积分结果为 $2\pi$，剩下径向积分 $\int_0^{\sqrt{2}/2} r(1/2-r^2) dr$。完整的分离形式为 $\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{2}/2} r(1/2-r^2) dr$。

适用条件：已应用平移极坐标；包含雅可比 $r$

推导过程通过定义微分质量元素 $dm = \rho d\sigma$（其中 $\rho$ 是面密度，$d\sigma$ 是无穷小面积元素），从离散求和过渡到连续积分。使用极坐标并将旋转轴与 y 轴对齐，元素到旋转轴的平方距离表示为 $r^2\sin^2\theta$。

适用条件：圆盘是均匀的。；旋转轴是其直径之一（例如 y 轴）。；使用极坐标，角度 $\theta$ 从 x 轴开始测量。

推导过程通过定义微分质量元素 $dm = \rho d\sigma$（其中 $\rho$ 是面密度，$d\sigma$ 是无穷小面积元素），从离散求和过渡到连续积分。使用极坐标并将旋转轴与 y 轴对齐，元素到旋转轴的平方距离表示为 $r^2\sin^2\theta$。

适用条件：圆盘是均匀的。；旋转轴是其直径之一（例如 y 轴）。；使用极坐标，角度 $\theta$ 从 x 轴开始测量。

格林公式将围绕简单闭合曲线 $C$ 的线积分与由 $C$ 界定的平面区域 $D$ 上的二重积分联系起来。该定理要求向量场在包含 $D$ 的开区域上有定义且具有连续偏导数。

适用条件：曲线 $C$ 是简单、闭合且正向的。；区域 $D$ 由 $C$ 界定。；向量场必须在包含 $D$ 的开集上是 $C^1$ 的。；$D$ 不得包含场的奇点。

格林公式将围绕简单闭合曲线 $C$ 的线积分与由 $C$ 界定的平面区域 $D$ 上的二重积分联系起来。该定理要求向量场在包含 $D$ 的开区域上有定义且具有连续偏导数。

适用条件：曲线 $C$ 是简单、闭合且正向的。；区域 $D$ 由 $C$ 界定。；向量场必须在包含 $D$ 的开集上是 $C^1$ 的。；$D$ 不得包含场的奇点。

通过将高度为 $2\pi r$ 的条带沿半径轴排列，它们的顶部形成一条线性图。当分割宽度趋于零时，阶梯函数近似收敛于直线 $y=2\pi x$ 下方的面积。

适用条件：函数 $f(r) = 2\pi r$ 是线性的；分割宽度 $\Delta r \to 0$

通过将高度为 $2\pi r$ 的条带沿半径轴排列，它们的顶部形成一条线性图。当分割宽度趋于零时，阶梯函数近似收敛于直线 $y=2\pi x$ 下方的面积。

适用条件：函数 $f(r) = 2\pi r$ 是线性的；分割宽度 $\Delta r \to 0$