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关于「当 b 不在列空间中时,几何上意味着什么?」

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理解原因

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方程 Ax⃗=b⃗A\vec{x}=\vec{b} 无解,因为求解它等价于寻找权重 x1,…,xkx_1, \dots, x_k 使得 x1a⃗1+⋯+xka⃗k=b⃗x_1\vec{a}_1 + \dots + x_k\vec{a}_k = \vec{b}。列空间 C(A)C(A) 定义为 AA 的各列的所有可能线性组合的集合。

适用条件:AA 是 n×kn \times k 矩阵;x⃗∈Rk\vec{x} \in \mathbb{R}^k 且 b⃗∈Rn\vec{b} \in \mathbb{R}^n;C(A)C(A) 表示 AA 的列空间