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离散粒子系统的总转动惯量是通过计算每个粒子的转动惯量的代数和来得出的。对于位于距旋转轴距离 $r$ 处的单个质点 $m$，其转动惯量为 $I = mr^2$。

适用条件：系统由离散的质点组成。；距离 $r_i$ 是从旋转轴到第 $i$ 个粒子的垂直距离。

离散粒子系统的总转动惯量是通过计算每个粒子的转动惯量的代数和来得出的。对于位于距旋转轴距离 $r$ 处的单个质点 $m$，其转动惯量为 $I = mr^2$。

适用条件：系统由离散的质点组成。；距离 $r_i$ 是从旋转轴到第 $i$ 个粒子的垂直距离。

推导过程通过定义微分质量元素 $dm = \rho d\sigma$（其中 $\rho$ 是面密度，$d\sigma$ 是无穷小面积元素），从离散求和过渡到连续积分。使用极坐标并将旋转轴与 y 轴对齐，元素到旋转轴的平方距离表示为 $r^2\sin^2\theta$。

适用条件：圆盘是均匀的。；旋转轴是其直径之一（例如 y 轴）。；使用极坐标，角度 $\theta$ 从 x 轴开始测量。

推导过程通过定义微分质量元素 $dm = \rho d\sigma$（其中 $\rho$ 是面密度，$d\sigma$ 是无穷小面积元素），从离散求和过渡到连续积分。使用极坐标并将旋转轴与 y 轴对齐，元素到旋转轴的平方距离表示为 $r^2\sin^2\theta$。

适用条件：圆盘是均匀的。；旋转轴是其直径之一（例如 y 轴）。；使用极坐标，角度 $\theta$ 从 x 轴开始测量。