微积分 / 英语

极限比较判别法

The Organic Chemistry Tutor · YouTube · 11:12

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视频中的要点

01极限比较判别法的假设条件
02极限比较判别法的结论
03为何极限值L至关重要

来自学习笔记

a_n>0,\quad b_n>0,\quad \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=L

极限比较判别法的假设条件

选中时刻

开场黑屏

建议预备知识

无穷级数
数列极限
p-级数收敛判据
无穷级数的记号
有理函数在无穷远处的极限
含倒数与指数的基本代数
无穷级数
p-级数判别法
无穷远处的极限
根式的代数变形
调和级数发散
几何级数
绝对值不等式
无穷级数与数列的记号
等比级数及其收敛判据
数列的极限为 $n\to\infty$
分式与指数式的代数基本运算

阅读与收藏

把讲解展开来看。

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阅读完整概览

这段时长为160秒的白板讲解介绍了极限比较判别法，并立即应用于一个例题。首先，主讲人指出：对正项序列 $a_n$ 和 $b_n$ ，若 $\lim _{n\to \infty }(a_n/b_n) = L$ ，且 L 为正的有限数，则 $Σ a_n$ 与 $Σ b_n$ 要么同时收敛，要么同时发散。彩色强调突出了结论如何在这两个级数之间传递。后半部分求解例题 $Σ_{n=1}^{\infty } n^2/(n^5+8)$ ，选取以主导项为基础的比较级数 $Σ n^2/n^5$ ，将其化简为 $Σ 1/n^3$ ，并识别为 p-级数，其中 $p = 3$ ，且 $p > 1$ 。该片段在比值极限的计算及最终结论完成前结束。这段时长为160秒的微积分白板讲解片段，运用极限比较判别法分析级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$ ，将其与收敛的p-级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ 进行比较。讲解者将各项标记为 $a_n$ 和 $b_n$ ，计算极限 $\lim_{n\to\infty}[a_n\cdot \frac{1}{b_n}]=\lim_{n\to\infty}\frac{n^5}{n^5+8}=1$ ，并由此得出原级数收敛的结论。在最后部分，又写出第二个问题 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ ，并提示采用相同方法求解，但片段在此处结束，尚未解答该例。本视频片段演示了极限比较判别法的应用，用于判定级数 $\sum \frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 的发散性。授课教师选取调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 作为比较级数，并指出它是一个 $p=1$ 的发散p级数。通过计算两个通项之比在n趋于无穷时的极限，教师代数地推导出该极限等于1。由于该极限为有限正数，判别法确认原级数与调和级数具有相同的发散性。本160-第二块白板片段通过两个例子讲解极限比较判别法：首先回顾一个已完成的案例，其中级数 $\sum 1/\sqrt{n^2+2}$ 与级数 $\sum 1/n$ 比较，极限等于1，从而将发散性传递过去；接着处理一个新例子 $\sum 1/(3^n+5)$ ，将其与几何级数 $\sum 1/3^n$ 比较，指出 | $1/3$ |<1，因此比较级数收敛，再计算极限为1，最终得出原级数收敛的结论。这段时长为32秒的白板讲解片段，完成了关于无穷级数的一个微积分例题。在片段大部分时间里，黑板上显示目标级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$ 、比较级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}$ （重写为 $(1/3)^n$ ），以及极限比较计算过程，最终结果以方框标出为 $1$ 。说话人指出，根据极限比较判别法，原级数也必须收敛；与此同时，黑板上用蓝色写出‘收敛’一词。最终结论清晰明确，但黑板上有一行中间代数步骤明显有误：它将 $\frac{1}{3^n+5}\cdot\frac{3^n}{1}$ 错误地重写为 $\frac{3^n}{3^n}$ ，而非正确的 $\frac{3^n}{3^n+5}$ 。从约10秒起，屏幕变为黑色并持续至结束。

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章节

0:00开场黑屏 0:06极限比较判别法的陈述 0:38收敛性与发散性结论 1:21例题设定 1:48选择并化简比较级数 2:28识别p-级数条件 2:40p-级数基准：

\sum 1/n^3

收敛 2:54建立极限比较判别法的形式 3:15计算

\lim (a_n/b_n)

4:10将该有理函数极限的值判定为1 4:37得出第一个级数收敛的结论 4:56引入第二个例题 5:20选取比较级数 5:37识别调和级数的发散性 5:57设定极限比较判别法 6:40代数地求解极限 7:47最终极限值的判定 8:00第一个已完成的例子：发散性由

\sum 1/n

传递而来 8:18新例子：

\sum 1/(3^n+5)

8:38选取几何级数作为比较对象：

\sum 1/3^n

8:58几何级数收敛准则：|r|<1 9:30极限比较的计算结果为1 10:26结论：原级数收敛 10:40黑板上演示的极限比较法例题 10:44写出的结论：收敛 10:50直至结束均为黑屏

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

视频片段以黑屏开始，持续数秒后才出现任何数学内容。

课程首先介绍极限比较判别法。黑板上，主讲人并列写出两个假设： $a_n > 0$ 和 $b_n > 0$ 。口述讲解与之对应：我们考虑两个数列，并假设它们均为正项。

接着，构造该判别法的核心量。黑板上写出 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=L$ ，而旁白明确指出：该极限应等于一个正的有限数 $L$ 。这是控制最终结论的关键假设。

在假设确立后，主讲人写出结论行： $\Sigma a_n$ & $\Sigma b_n \rightarrow$ 收敛；其下方另有一箭头指向发散。其含义是：一旦比值极限为正且有限，则这两个级数必具有相同性态——要么同时收敛，要么同时发散。

随后，讲解转为方向性表述。蓝色强调标记分别突出显示 $\Sigma b_n$ 和 $L$ ，同时主讲人说明：若其中一个级数收敛，且比值极限为有限正数，则另一个级数也收敛。之后红色强调标记转而聚焦于这一对级数，主讲人同步给出对应的发散结论。

经过短暂空白过渡后，视频进入例题环节。黑板上写出 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^5+8}$ ，任务是运用极限比较判别法判断该级数是否收敛或发散。

主讲人通过关注当 $n$ 充分大时的主导增长趋势来选取比较级数。常数 $8$ 被描述为相对于 $n^5$ 可忽略不计，因此新选取的比较级数写作 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^5}$ 。

随后对该比较项进行代数化简。黑板将 $\frac{n^2}{n^5}$ 重写为 $n^{-3}$ ，运用指数法则 $2-5=-3$ ，再将整个级数改写为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 。由此得到一个标准的基准级数，用于下一步判断。

最后，对比较级数进行分类。黑板用红色标注其为一个 $p$ -级数，然后记下 $p=3$ 和 $p>1$ 。视频在此处停止，此时主讲人正准备使用常规的 $p$ -级数收敛判据；而实际的比值极限计算及原级数的最终结论均未在本片段中完成。

片段开场时黑板上已写出两个级数：左侧为目标级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$ ，右侧为基准级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ 。讲解者立即回顾p-级数判别法，指出当 $p>1$ 时，该级数收敛。由于右侧例题满足 $p=3$ ，黑板上将其标记为收敛。

接着，教师宣布将使用极限比较判别法来判断左侧级数是否也收敛。两个被加项被明确命名： $a_n=\frac{n^2}{n^5+8}$ 和 $b_n=\frac{1}{n^3}$ 。这一标注通过不同颜色的方框在视觉上加以强化。

随后将比较量写作 $\lim_{n\to\infty}\left[a_n\cdot \frac{1}{b_n}\right]$ 。讲解者并未保留其分式形式，而是将除以 $b_n$ 改写为乘以其倒数，为代数化简做准备。

代入后得到 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{n^2}{n^5+8}\cdot \frac{1}{1/n^3}\right]$ 。关键化简步骤被口头说明并同步展示： $\frac{1}{1/n^3}=n^3$ 。将 $n^2$ 乘以 $n^3$ 得 $n^5$ ，因此该极限化为 $\lim_{n\to\infty}\frac{n^5}{n^5+8}$ 。

为计算该极限，讲解者比较分子与分母的次数。分子与分母均为5次，故无穷远处的极限等于它们首项系数之比。此处两个首项系数均为1，因此极限等于1，这是一个有限非零数。

由于 $\sum b_n$ 已知收敛，且两项之比趋于1，根据极限比较判别法，原级数亦收敛。黑板上由此得出结论： $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$ 收敛。

最后一部分清空黑板，并引入第二个练习题： $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 。讲解者指示观众再次使用极限比较判别法，判断该新级数是收敛还是发散；但片段在此处结束，尚未写出任何比较级数或具体计算。

为分析该级数的收敛性 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ ，我们需要找一个更简单的级数与之比较。通过在充分大的 $+2$ 时消去根号内的常数 $n$ ，主导项变为 $\sqrt{n^2} = n$ 。这提示我们将它与级数 $\sum \frac{1}{n}$ 进行比较。

比较级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是调和级数。它是 $p$ -级数 $\sum \frac{1}{n^p}$ 的一个特例，其中 $p=1$ 。根据 $p$ -级数判别法，任何满足 $p \le 1$ 的级数均发散。因此，我们的比较级数已知是发散的。

我们应用极限比较判别法。设 $a_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 为原级数的通项， $b_n = \frac{1}{n}$ 为调和级数的通项。需计算极限 $L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ 。

代入表达式后，得到 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2+2}} \cdot \frac{n}{1} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+2}}$ 。为求该式在无穷远处的极限，我们将分子与分母同除以分母中 $n$ 的最高次幂，即实质上的 $n$ （或根号内的 $\sqrt{n^2}$ ）。

分子分母同乘以 $\frac{1}{n}$ 后，分子变为 $n \cdot \frac{1}{n} = 1$ ；分母中将 $\frac{1}{n}$ 移入平方根内得 $\sqrt{\frac{1}{n^2}}$ ；再将其分配至 $(n^2+2)$ 上，得到 $\sqrt{1 + \frac{2}{n^2}}$ 。极限表达式化简为 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{n^2}}}$ 。

当 $n$ 趋于无穷时，项 $\frac{2}{n^2}$ 趋于0。该极限值为 $\frac{1}{\sqrt{1+0}} = 1$ 。由于极限 $L=1$ 是一个有限正数（ $0 < L < \infty$ ），极限比较判别法表明两个级数具有相同的敛散性。因为 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，故 $\sum \frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 也发散。

该片段以一块已完成的极限比较板面开场。红框标出的项为 $a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ ，蓝框标出的比较项为 $b_n=\frac{1}{n}$ 。所写的极限已化简为 $\rho=1$ 。

主讲人陈述逻辑推论：比较级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，且因极限为有限正数，故原级数也必发散。

黑板清空后，开始新例子： $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$ 。问题是该级数收敛还是发散。

当 n 充分大时，加性常数 5 相对于 $3^n$ 可忽略不计，因此自然的比较级数是 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}$ 。

比较项被重写为 $\frac{1}{3^n}=\left(\frac{1}{3}\right)^n$ ，从而明确表明这是一个等比级数。

公比确定为 $r=\frac{1}{3}$ 。由于 |r|<1，根据等比级数判别法，该比较级数收敛。

为应用极限比较判别法，教师构造极限 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{a_n}{1}\cdot\frac{1}{b_n}\right]$ ，其中 $a_n=\frac{1}{3^n+5}$ ， $b_n=\frac{1}{3^n}$ 。

因为 $\frac{1}{b_n}=3^n$ ，所以乘积化为 $\frac{1}{3^n+5}\cdot 3^n$ 。在主导项简化中，当 n 很大时，+5被忽略。

该表达式化简为 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{3^n}{3^n}\right]=1$ ，因此极限比较比值是有限且正的。

由于极限等于 1，且所比较的等比级数收敛，故得出结论：级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$ 收敛。

片段以一道收敛性问题的已完成白板设定开场。左上方显示级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$ ，其通项用红色框出并标注为 $a_n$ ；右上方用蓝色圈出比较级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}$ ，并重写为 $(\frac{1}{3})^n$ ，使其几何级数形式更明确。

下方黑板以符号形式展示极限比较计算： $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{a_n}{1}\cdot\frac{1}{b_n}\right]$ ，代入后得 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{3^n+5}\cdot\frac{3^n}{1}\right]$ ，最终结果以方框标出为 $1$ 。说话人直接点明所用方法：‘根据极限比较判别法。’

当说话人得出结论时，‘收敛’一词以蓝色书写于两个级数之间。这一视觉标注与论证的逻辑结构完全对应：比较极限为有限非零值，且作为基准的几何级数收敛，因此推断原级数同样收敛。

一个重要的注意事项：板书展示的中间化简步骤在代数上并不正确。从 $\frac{1}{3^n+5}\cdot\frac{3^n}{1}$ 出发，正确的化简结果应为 $\frac{3^n}{3^n+5}$ ，而非 $\frac{3^n}{3^n}$ 。正确的极限论证过程是 $\frac{3^n}{3^n+5}=\frac{1}{1+5/3^n}\to 1$ ，因此尽管板书中的中间步骤有误，最终的数值极限和收敛性结论依然成立。

结论得出后，黑板消失，视频剩余部分为纯黑色画面，不再包含任何数学内容。

知识卡片

极限比较判别法的假设条件

该判别法从两个均为正项的数列 $a_n$ 和 $b_n$ 出发；在此前提下，考察当 $n\to\infty$ 时它们比值的极限。

a_n>0,\quad b_n>0,\quad \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=L

极限比较判别法的结论

若该比值的极限 $L$ 是一个正的有限数，则这两个无穷级数具有相同的敛散性：即要么同时收敛，要么同时发散。

L\in(0,\infty)\ \Rightarrow\ \sum a_n \text{ 且 } \sum b_n \text{ share convergence/divergence}

为何极限值L至关重要

本片段强调，敛散性的传递依赖于该比值极限为正且有限；对 $L$ 的视觉高亮提示：此极限值并非任意选取。

示例级数

所给例题考察级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^5+8}$ ，并运用极限比较判别法分析其敛散性。

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}

如何选取比较级数

当 $n$ 充分大时，常数 $8$ 相较于 $n^5$ 可忽略不计，因此该例将给定级数与 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^5}$ 进行比较。

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5}

化简为基准级数

比较项通过指数相减化简： $n^2/n^5=n^{-3}=1/n^3$ ；于是所选的基准级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^3$ 。

\frac{n^2}{n^5}=n^{-3}=\frac{1}{n^3}

p-级数识别

该基准级数被识别为一个 $p$ -级数，其中 $p=3$ 。黑板上记录了相关条件 $p>1$ ，确立了标准的收敛判据，但视频片段在最终结论陈述前结束。

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p},\quad p=3,\quad p>1

例题中所用的p-级数基准

视频首先回顾标准基准级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ 。它将判别规则 $p>1\Rightarrow$ 收敛应用于具体情形 $p=3$ ，从而判定 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ 收敛，并将其用作比较级数。

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p},\quad p>1\Rightarrow \text{收敛}

设定极限比较判别法

对于目标级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$ ，教师定义了 $a_n=\frac{n^2}{n^5+8}$ 和 $b_n=\frac{1}{n^3}$ 。该检验通过考察项之比的极限来实施，板书上写作乘以其倒数的形式： $\lim_{n\to\infty}[a_n\cdot \frac{1}{b_n}]$ 。

\lim_{n\to\infty}\left[a_n\cdot \frac{1}{b_n}\right]

比较极限的代数化简

代入显式项后得到 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{n^2}{n^5+8}\cdot \frac{1}{1/n^3}\right]$ 。其倒数化简为 $n^3$ ，幂的乘法运算得到 $\lim_{n\to\infty}\frac{n^5}{n^5+8}$ 。

\frac{1}{\frac{1}{n^3}}=n^3,\quad \frac{n^2}{n^5+8}\cdot n^3=\frac{n^5}{n^5+8}

有理函数极限的求值

叙述者通过比较分子与分母的次数来求 $\lim_{n\to\infty}\frac{n^5}{n^5+8}$ 的极限。由于分子与分母次数均为5，该极限等于首项系数之比 $1/1=1$ 。这一有限非零极限是本次比较计算的关键结果。

\lim_{n\to\infty}\frac{n^5}{n^5+8}=1

第一个级数的结论

因为 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ 收敛，且项之比的极限为有限数1，根据极限比较判别法，可知 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$ 也收敛。

第二个例子的题干陈述（仅题干）

视频片段以引入一个新问题 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 结束，并请观众运用极限比较判别法判断其收敛性或发散性。本片段中未展示解答过程。

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}

极限比较判别法设定

为判断 $\sum a_n$ 是否收敛，将其与已知敛散性的级数 $\sum b_n$ 比较，并计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ 。若该极限为有限正数，则两个级数同敛或同散。

L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}

确定比较级数

对于有理函数或含根式的函数，应考察当 $n \to \infty$ 趋于无穷时的主导项。在 $\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 中， $+2$ 变得可忽略，剩下 $\frac{1}{\sqrt{n^2}} = \frac{1}{n}$ 。因此，应与调和级数比较。

p-级数发散规则

形如 $\sum \frac{1}{n^p}$ 的级数，当 $p \le 1$ 时发散，当 $p > 1$ 时收敛。调和级数对应于 $p=1$ ，因此发散。

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ diverges if } p \le 1

含根式的极限求值

在求 $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+2}}$ 时，将分子和分母同时除以 $n$ 。在平方根内部，这等价于除以 $n^2$ 。该化简使表达式变为 $\frac{1}{\sqrt{1+2/n^2}}$ ，其显然趋于 1。

极限比较法的设定

本课使用商的极限 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{a_n}{1}\cdot\frac{1}{b_n}\right]$ ，将一个未知级数与一个已知基准级数进行比较。若该极限为有限且正，则这两个级数具有相同的敛散性。

\lim_{n\to\infty}\left[\frac{a_n}{1}\cdot\frac{1}{b_n}\right]

第一个例子：发散性的传递

完成的例子将级数 $\sum \frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 与级数 $\sum \frac{1}{n}$ 进行比较。所显示的极限为 1，而由于比较级数发散，原级数也发散。

\rho=1

选择比较级数

对于级数 $\sum \frac{1}{3^n+5}$ ，当 n 很大时，常数 5可忽略不计，因此该级数与 $\sum \frac{1}{3^n}$ 进行比较。

识别几何级数

将比较项重写为 $\frac{1}{3^n}=\left(\frac{1}{3}\right)^n$ ，从而确定基准级数为几何级数。

\frac{1}{3^n}=\left(\frac{1}{3}\right)^n

几何级数收敛判据

公比为 r 的几何级数在 |r|<1 时收敛。此处 $r=\frac{1}{3}$ ，因此该比较级数收敛。

|r|<1 \Rightarrow \text{convergent}

第二个例子：极限等于 1

代入 $a_n=\frac{1}{3^n+5}$ 与 $b_n=\frac{1}{3^n}$ ，得到 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{3^n+5}\cdot 3^n\right]$ ，化简为 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{3^n}{3^n}\right]=1$ 。

\lim_{n\to\infty}\left[\frac{3^n}{3^n}\right]=1

第二个例子：收敛结论

由于极限比较比值为有限正数 1，且所比较的几何级数收敛，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$ 收敛。

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 29

$a_n$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
手写体 $a_n$ 出现在左上角，作为 $a_n > 0$ 的一部分，随后出现在 $\lim _{n\to \infty }(a_n/b_n)$ 和 $Σ a_n$ 中。

符号

$a_n$

含义

极限比较判别法中使用的第一个正项序列。

适用范围

满足 $a_n > 0$ 的序列项。

$b_n$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
手写体 $b_n$ 出现在右上角，作为 $b_n > 0$ 的一部分，随后出现在 $\lim _{n\to \infty }(a_n/b_n)$ 和 $Σ b_n$ 中。

符号

$b_n$

含义

极限比较判别法中使用的第二个正项序列。

适用范围

满足 $b_n > 0$ 的序列项。

n

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
下标 n 出现在 $\lim _{n\to \infty }$ 中、求和上下限 $n=1$ 到 $\infty$ 中，以及幂次形式如 $n^2$ 、 $n^5$ 和 $n^3$ 中。

符号

含义

序列与级数的正整数下标。

适用范围

所写求和式中要求 $n \ge 1$ ；极限陈述中为 $n \to \infty$ 。

L

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
手写方程以 $\lim _{n\to \infty }(a_n/b_n) = L$ 结尾。
声音
观察依据
说话人指出该极限等于某个正的有限数 L。

符号

含义

比值 $a_n/b_n$ 的极限值；本片段中口头说明其为正且有限。

适用范围

根据口述条件， $0 < L < \infty$ 。

p

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
红色文字的p级数写在比较级数下方，后接 $p = 3$ 且 $p > 1$ 。

符号

含义

p级数比较项中指数参数为 $1/n^p$ 。

适用范围

本例中 $p = 3$ ；所陈述的收敛条件是 $p > 1$ 。

n

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
n 在两个例子以及极限表达式中均作为求和指标出现。

符号

含义

求和指标／趋向无穷大的正整数变量。

适用范围

级数中的整数指标；在所展示的有理函数极限中被视作实变量。

p

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 p-级数，p＝3，且 p＞1，并写在 $\sum$ _{n＝1}^{ $\infty$ } ⅟{1}{ $n^3$ } 旁边。

符号

含义

p-级数的指数参数。

适用范围

实数指数；此处特指 p＝3。

$a_n$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
项 $\frac{n^2}{n^5+8}$ 用红色框出，并标注为 $a_n$ 。
声音
观察依据
讲解者说：“我们将这个称为 a 下标 n。”

符号

$a_n$

含义

待检验的第一个级数的通项。

适用范围

由 $a_n$ ＝ $\frac{n^2}{n^5+8}$ （ $n\ge 1$ ）定义。

$b_n$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
项 $\frac{1}{n^3}$ 用蓝色框出，并标注为 $b_n$ 。
声音
观察依据
讲解者说：“我们把它认定为 b 下标 n。”

符号

$b_n$

含义

比较级数的通项。

适用范围

由 $b_n=\frac{1}{n^3}$ （ $n\ge 1$ ）定义。

$\lim_{n\to\infty}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $\lim_{n\to\infty}[a_n\cdot \frac{1}{b_n}]$ ，随后将其计算为 1。

符号

$\lim_{n\to\infty}$

含义

当指标趋于无穷大时的极限。

适用范围

适用于关于 n 的数列/有理表达式。

n

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
下标 n 出现在求和的上下限中（从 $n = 0$ 到 $\infty$ ），也出现在两个级数的各项中。

符号

含义

求和下标，取值范围是从 0 到无穷大。

适用范围

n 是整数，且 $n \ge 0$

$a_n$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
aₙ 写在红色方框旁，该方框内包含项 1/√( $n^2+2$ )。

符号

$a_n$

含义

待检验的第一个级数的一般项。

适用范围

aₙ 等于 1 除以根号下 n 的 2 次方加 2

知识点 · 14

极限比较判别法的设定

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人引入极限比较判别法，并指出需考虑两个均大于零的数列 $a_n$ 和 $b_n$ 。
公式
观察依据
黑板上显示 $a_n > 0$ ， $b_n > 0$ ，然后 $\lim _{n\to \infty }(a_n/b_n) = L$ 。

定义

解释

该片段定义了极限比较判别法的前提条件：取两个数列 $a_n$ 和 $b_n$ ，要求它们均为正数，并构造当 n 趋于无穷时其比值的极限；所写的比值为 $a_n$ 除以 $b_n$ ，结果记作 L。

公式

a_n > 0,\quad b_n > 0,\quad \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=L

适用条件

$a_n$ 大于0
bₙ 大于0
当 $n\to \infty$ 时， $a_n/b_n$ 的极限存在且等于 L

极限比较判别法的结论形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，若该极限等于某个正的有限数 L，则这两个级数将同时收敛或同时发散。
公式
观察依据
白板上写出 $Σ a_n$ 与 $Σ b_n$ → 收敛，其下方为 → 发散。
动画
观察依据
蓝色标记突出显示 $Σ b_n$ 和 L，配合讲解：一个级数收敛会迫使另一个级数也收敛；红色标记突出显示 $Σ a_n$ 和 $Σ b_n$ ，配合讲解发散情形。

方法

解释

在各项为正的前提及比值极限为正的有限数的条件下，该判别法得出结论：这两个无穷级数具有相同的敛散性——即要么都收敛，要么都发散。视觉强调表明：一旦比值极限条件成立，便可由任一给定级数直接读出结论。

公式

\text{If } a_n>0,\ b_n>0,\ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\in(0,\infty),\ \text{then } \sum a_n \text{ 且 } \sum b_n \text{ share the same behavior.}

适用条件

aₙ 大于0
bₙ 大于0
L 为正且有限

先修条目

极限比较判别法的设定

例题中的 p-级数识别

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人提问右侧是什么类型的级数，并指出它是一个 p-级数，其中 p 等于 3；随后提问：当 p 大于 1 时，我们已知什么结论？
公式
观察依据
红色文字依次显示：p-级数、 $p = 3$ 、 $p > 1$ 。

待核验内容

该片段陈述了条件 $p > 1$ ，但在得出“该 p-级数收敛”这一明确结论前，片段即已结束。

定义

解释

比较级数 $Σ_{n=1}^{\infty } 1/n^3$ 被识别为一个 p-级数，其中 $p = 3$ 。黑板随后记下相关阈值 $p > 1$ ，这对应 p-级数的标准收敛判据，但本片段中最终的口头结论被截断。

公式

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},\quad p=3,\quad p>1

适用条件

所比较的级数形如 $Σ 1/n^p$
本例中 $p = 3$

先修条目

示例： $Σ n^2/(n^5+8)$

示例中使用的 p-级数收敛判别法。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
右侧显示 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ ，并标注：p-级数、 $p=3$ 、 $p>1$ 、收敛。
声音
观察依据
讲述者指出：“当 p 大于一时，该级数收敛。”

定义

解释

该片段使用标准 p-级数基准 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ 。在所展示的情形中， $p=3$ ，黑板上写出条件 $p>1$ ，讲解者得出该级数收敛的结论。

公式

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p},\quad p>1\Rightarrow \text{收敛}

适用条件

视频明确将该判别法应用于 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ 。
该片段未讨论 $p\le 1$ 的情形。

极限比较法的设定

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说道：“那么现在，我们来用极限比较判别法，看看该级数是否也会收敛。”
公式
观察依据
黑板将两项标记为 $a_n$ 和 $b_n$ ，并写出 $\lim_{n\to\infty}[a_n\cdot \frac{1}{b_n}]$ 。

方法

解释

为了判断第一个级数是否表现得像已知的 p-级数，视频构造了它们对应项之商的极限。它没有直接写成分数形式，而是将该商改写为乘以倒数的形式： $a_n\cdot \frac{1}{b_n}$ 。

公式

\lim_{n\to\infty}\left[a_n\cdot \frac{1}{b_n}\right]

适用条件

该方法在例题中应用于两个正项级数。
视频未口头陈述极限比较法完整定理的全部条件。

先修条目

示例中使用的 p-级数收敛判别法。

倒数的倒数项

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者说：“一除以 n 的三次方分之一，就等于 n 的三次方。”
公式
观察依据
表达式 $\frac{1}{\frac{1}{n^3}}$ 在黑板上被替换为 $n^3$ 。

公式

解释

比较步骤使用了代数恒等式：除以 $\frac{1}{n^3}$ 等价于乘以 $n^3$ 。这使得极限表达式化为一个单一的有理函数。

公式

\frac{1}{\frac{1}{n^3}}=n^3

适用条件

对 $n\neq 0$ 成立。

先修条目

极限比较法的设定

分子分母次数相等的有理函数的极限

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者说：“分子的次数与分母的次数相同”，接着又说：“该极限……就直接等于这两个数的比值。”
公式
观察依据
黑板将 $\lim_{n\to\infty}\frac{n^5}{n^5+8}$ 化简为 1。

方法

解释

化简后，相关的极限为 $\lim_{n\to\infty}\frac{n^5}{n^5+8}$ 。视频通过比较次数来求解：由于分子与分母的次数均为5，该极限等于首项系数之比，即此处为 $1/1=1$ 。

公式

\lim_{n\to\infty}\frac{n^5}{n^5+8}=1

适用条件

适用于分子与分母均为同次多项式的情形。
结论依据首项系数之比得出。

先修条目

倒数的倒数项

调和级数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出该级数为调和级数，且是一个 p-级数，其中 $p = 1$ 。
公式
观察依据
级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n}$ 被写在黑板上。

待核验内容

视频中将下限写作 $n = 0$ ，这将导致首项无定义；标准定义从 $n = 1$ 开始。

定义

解释

调和级数是所有正整数倒数的无穷和。它是 p-级数的一个特例，其中 $p = 1$ 。

公式

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

适用条件

$p = 1$

p-级数的收敛性/发散性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出：若 $p = 1$ 或 $p < 1$ ，则该级数发散。
公式
观察依据
单词 'divergent'（发散）以蓝色写在该级数下方。

方法

解释

p-级数当 $p > 1$ 时收敛，当 $p \le 1$ 时发散。

公式

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}

适用条件

若 $p \le 1$ ，则发散
若 $p > 1$ ，则收敛

先修条目

调和级数

极限比较法的设定步骤

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人指出，需计算当 n 趋于无穷时 $a_n$ 乘以 1 除以 $b_n$ 的极限。
公式
观察依据
黑板上写出 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{a_n}{1}\cdot\frac{1}{b_n}\right]$ 。

方法

解释

为比较两个正项级数，构造商 $a_n/b_n$ 的极限：将 $a_n$ 乘以 $1/b_n$ ，再考察该极限是否为有限且为正数。

公式

\lim_{n\to\infty}\left[\frac{a_n}{1}\cdot\frac{1}{b_n}\right]

适用条件

使用一个已知的比较级数，其通项为 $b_n$ 。
该极限取 $n \to \infty$ 时的值。

等比级数识别

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人将该比较式改写为三分之一的 n 次方分之一，并指出它是一个等比级数。
公式
观察依据
黑板上显示 $\frac{1}{3^n} \rightarrow \left(\frac{1}{3}\right)^n$ ，并标注为“等比级数”。

定义

解释

若一个级数的第 n 项可表示为某个常数的 n 次幂，则将其视为等比级数；此处 $\frac{1}{3^n}$ 被改写为 $\left(\frac{1}{3}\right)^n$ 。

公式

\frac{1}{3^n}=\left(\frac{1}{3}\right)^n

适用条件

底数即为公比 r。

等比级数的收敛判据

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，若〔r〕的绝对值小于一，则该级数收敛。
公式
观察依据
黑板上写出 $r = \frac{1}{3}$ ，|r| < 1，并标注“收敛”。

公式

解释

对于所示的等比级数，其收敛性由公比的大小决定：当 |r| < 1 时，该级数收敛。

公式

|r|<1 \Rightarrow \text{convergent}

适用条件

适用于当前讨论的等比级数。
此处 $r = \frac{1}{3}$ 。

先修条目

等比级数识别

定理与条件 · 10

极限比较判别法陈述

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人用自然语言陈述该定理：考虑两个正项数列 $a_n$ 和 $b_n$ ；若当 n 趋于无穷时， $a_n/b_n$ 的极限等于某个正的有限数 L，则这两个级数要么都收敛，要么都发散。
公式
观察依据
黑板上写出： $a_n > 0$ ， $b_n > 0$ ， $\lim _{n\to \infty }(a_n/b_n) = L$ ，以及 $Σ a_n$ 与 $Σ b_n$ → 收敛 / 发散。

定理

命题

若 $a_n > 0$ ， $b_n > 0$ ，且 $\lim _{n\to \infty }(a_n/b_n) = L$ ，其中 L 是一个正的有限数，则 $Σ a_n$ 与 $Σ b_n$ 要么都收敛，要么都发散。

前提

aₙ 大于0
bₙ 大于0
$\lim _{n\to \infty }(a_n/b_n)$ 存在且等于 L
L 是一个正的有限数

量词

对于满足上述正性条件的数列 ( $a_n$ ) 和 ( $b_n$ )，以及当 $n\to \infty$ 时的极限。

提到了 p-级数的收敛判别准则

时间近似

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出右侧级数是一个 p-级数，并提问：当 p 大于 1 时，我们已知什么？
公式
观察依据
黑板上写出 p-级数，其中 $p = 3$ ，且 $p > 1$ 。

待核验内容

该片段在结束前未明确说完关于收敛性的结论。

命题

对于 p-级数 $Σ_{n=1}^{\infty } 1/n^p$ ，片段中引用的相关判别准则是 $p > 1$ ；本例中 $p = 3$ ，因此该准则成立。

前提

比较级数的形式为 $Σ 1/n^p$
本例中 $p = 3$

量词

针对所展示的 p-级数示例。

p 级数比较判别法：收敛

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $p=3$ ， $p>1$ ，并在 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ 旁标注“收敛”。
声音
观察依据
讲解员说道：“当〔p〕大于一时，该级数将收敛。”

命题

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ 收敛，因为它是 p 级数，且 $p=3>1$ 。

前提

该级数为 p 级数形式 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ 。
$p = 3$ 。

量词

针对所展示的、 $p=3$ 的级数。

第一个例子的结论

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说：“因为它趋近于一个有限数，所以两个级数都必须收敛”，以及“根据极限比较判别法，另一个级数也必然收敛”。
公式
观察依据
计算所得的极限为1，箭头从收敛结论指向两个级数。

待核验内容

视频未明确重申极限比较判别法的正项假设，但所展示的项在 $n \ge 1$ 时均为正。

命题

由于 $\lim _{n\to \infty } a_n/b_n = 1$ 是有限值，且 $\sum b_n$ 收敛，因此级数 $\sum a_n$ 也收敛。

前提

$a_n$ 等于 n 的2次方，除以 n 的5次方加8。
bₙ 等于 1 除以 n 的 3 次方。
$\sum b_n$ 收敛。
当 n 趋于无穷大时，aₙ 乘以 1 除以 bₙ 的极限等于 1。

量词

将该方法应用于 $n \to \infty$ 时所展示的两个级数。

调和级数的发散性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“如果 p 等于一，或者 p 小于一，那么这个级数就是发散的。”
公式
观察依据
黑板上写着‘发散’一词。

命题

调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，因为它是 p-级数，且 $p=1$ 。

前提

该级数是 p-级数，且 $p=1$ 。

量词

对所有 $n \ge 1$

调和型比较级数发散

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“因此我们知道这个比较级数发散。”
公式
观察依据
比较级数为 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}$ 。

待核验内容

显示的下限 $n=0$ 与项 $1/n$ 在 $n=0$ 处不一致；视频未处理这一记号问题。

命题

比较级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}$ 发散。

前提

该级数即黑板上所写的 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}$ 。

量词

针对所展示的无穷级数。

第一个例子的结论

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人称，由于极限为有限值，另一级数也必发散。
公式
观察依据
黑板上显示该极限等于 1。

待核验内容

视频以口头方式陈述了结论，但未在屏幕上单独写出最终定理的表述。

命题

由于极限比较法给出有限值 1，且比较级数发散，故原级数也发散。

前提

$a_n/b_n$ 的极限等于 1。
比较级数发散。

量词

针对第一个例子中展示的两个级数。

比较用的几何级数的收敛性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，若〔r〕的绝对值小于一，则该级数收敛。
公式
观察依据
黑板上写出 $r=\frac{1}{3}$ ，|r|<1，并标注“收敛”。

命题

级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n$ 收敛，因为其公比满足 |r|<1。

前提

该级数是公比为 $\frac{1}{3}$ 的几何级数。

量词

针对所展示的几何级数。

第二个例子的结论

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者指出该极限收敛于1，该极限存在有限值，且所作比较是一个收敛的几何级数。
公式
观察依据
黑板上显示 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{3^n}{3^n}\right]=1$ ，并将比较级数标注为“收敛”。

待核验内容

最后一句话在明确说出结论词前被截断，但根据前述陈述，预期的结论已十分清晰。

命题

由于极限比较法得出有限值1，且作为比较的几何级数收敛，因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$ 收敛。

前提

$a_n$ 与 $b_n$ 之比的极限等于1。
作为比较的级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}$ 收敛。

量词

针对第二个例子中所展示的级数。

极限比较审敛法得出的结论

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲话者说：‘因此，根据极限比较审敛法，该级数也必然是收敛级数。’
公式
观察依据
所展示的比较极限等于 $1$ ，而比较级数是几何级数 $\sum 1/3^n$ 。
动画
观察依据
在结尾处，‘收敛’一词被写在原级数旁。

待核验内容

最终推断清晰明了，但定理本身的完整表述并未在屏幕上全部写出。

定理

命题

因为 $\lim_{n\to\infty} a_n/b_n=1$ 和 $\sum b_n=\sum 1/3^n$ 收敛，所以级数 $\sum a_n=\sum 1/(3^n+5)$ 收敛。

前提

对应的式子为： $a_n=\frac{1}{3^n+5}$
对应的式子为： $b_n=\frac{1}{3^n}$
对应的式子为： $\lim_{n\to\infty} a_n/b_n=1$
$\sum b_n$ 收敛

量词

针对所展示级数中的序列下标 $n\to\infty$ 。

推导与证明 · 8

推导本例中的比较级数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人指出，当 n 变得非常大时，8变得可忽略不计，因此原级数可与 $n^2/n^5$ 比较；接着指出 2 减去 5 等于负的 3，从而得到 $n^{-3}$ ，改写为 $1/n^3$ 。
公式
观察依据
黑板左侧显示 $Σ n^2/(n^5+8)$ ，右侧依次构造出 $Σ n^2/n^5$ 、 $Σ n^{-3}$ 和 $Σ 1/n^3$ 。

直观解释

步骤

公式
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$
解释
从待检验收敛性的给定级数出发。
步骤依据
这是写在黑板上的题目陈述。
视频直接表达
公式
$\text{For large } n,\ n^5+8 \text{ behaves like } n^5$
解释
当 n 增大时，常数 8 相对于 $n^5$ 可视为可忽略不计。
步骤依据
口述直观理解：当 n 变得非常大时，8 变得微不足道。
视频直接表达
公式
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5}$
解释
用主导项 $n^5$ 替换原分母，构造一个更简单的比较级数。
步骤依据
这是通过口头讲解与视觉呈现共同引入的比较选择。
视频直接表达
公式
$\frac{n^2}{n^5}=n^{2-5}=n^{-3}$
解释
通过指数相减来化简幂的商。
步骤依据
主讲人明确说出：2 减 5 等于负 3。
视频直接表达
公式
$\sum_{n=1}^{\infty} n^{-3}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$
解释
将负指数改写为倒数形式的幂。
步骤依据
黑板上展示的标准代数改写过程。
视频直接表达

结论

所选比较级数为 $Σ_{n=1}^{\infty } 1/n^3$ ，这是一个 p-级数，其中 $p = 3$ 。

对求和式 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$ 的完整推导过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
板书依次写出 $a_n$ 、 $b_n$ 、极限表达式、代入后的分式形式、化简后的 $n^5/(n^5 + 8)$ ，以及最终结果 1。
声音
观察依据
讲解员逐条解释每一步代数运算，然后应用极限比较判别法。

待核验内容

定理本身并未完整写出，仅展示了其应用过程。

严格证明

步骤

公式
$a_n=\frac{n^2}{n^5+8},\quad b_n=\frac{1}{n^3}$
解释
识别目标级数的通项与用于比较的 p-级数通项。
步骤依据
在黑板上及讲解中直接标注。
视频直接表达
公式
$\lim_{n\to\infty}\left[a_n\cdot \frac{1}{b_n}\right]$
解释
将极限比较法中的比较量设为两项之比，并利用倒数形式重写。
步骤依据
极限比较判别法的表述。
视频直接表达
公式
$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{n^2}{n^5+8}\cdot \frac{1}{\frac{1}{n^3}}\right]$
解释
代入 $a_n$ 与 $b_n$ 的显式表达式。
步骤依据
代数代换。
视频直接表达
公式
$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{n^2}{n^5+8}\cdot n^3\right]$
解释
将 $\frac{1}{n^3}$ 的倒数化简为 $n^3$ 。
步骤依据
恒等式 $\frac{1}{1/n^3}=n^3$ 。
视频直接表达
公式
$\lim_{n\to\infty}\frac{n^5}{n^5+8}$
解释
利用幂的乘法法则 $n^2\cdot n^3=n^5$ ，得到单一的有理表达式。
步骤依据
同底数幂相乘的指数运算法则。
视频直接表达
公式
$=1$
解释
通过比较分子与分母的次数来计算极限：分子与分母次数均为 5，因此极限为首项系数之比 $1/1$ 。
步骤依据
有理函数在无穷远处的极限的标准法则。
视频直接表达
公式
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}\text{ 收敛}$
解释
因为该极限为有限值，且比较级数 $\sum 1/n^3$ 收敛，所以由极限比较判别法可知原级数收敛。
步骤依据
极限比较判别法的应用。
视频直接表达

结论

级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$ 收敛。

仅展示第二个例子的设定。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
第二块黑板上写的是 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 。
声音
观察依据
讲解者指出，应使用极限比较判别法来判断级数的收敛性或发散性。

待核验内容

本片段中未展示任何比较级数、极限计算或结论。
黑板上可见下限 $n=0$ ，但视频并未讨论对该起始指标的任何特殊处理。

直观解释

步骤

公式
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$
解释
引入一个待检验其收敛性的新级数。
步骤依据
直接书写在黑板上。
视频直接表达
公式
$\text{Use the limit comparison test}$
解释
讲解者指示观众采用与第一个例子相同的方法。
步骤依据
音频中的口头讲解。
视频直接表达

结论

该片段在第二个例题解答完成前就结束了。

应用极限比较判别法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出极限 $\lim_{n \to \infty} [a_n \cdot \frac{1}{b_n}]$ 的逐步代数运算过程。
声音
观察依据
说话人逐步口述代数推导，包括乘以 $1/n$ 并计算该极限。

严格证明

步骤

公式
$\lim_{n \to \infty} \left[ a_n \cdot \frac{1}{b_n} \right]$
解释
利用通项 $a_n$ 和 $b_n$ 构造极限比较判别法所需的极限。
步骤依据
极限比较判别法的定义。
视频直接表达
公式
$= \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{\sqrt{n^2+2}} \cdot \frac{n}{1} \right]$
解释
将 $a_n$ 和 $b_n$ 的具体表达式代入该极限中。
步骤依据
已知 $a_n$ 和 $b_n$ 的定义。
视频直接表达
公式
$= \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n}{\sqrt{n^2+2}} \right]$
解释
通过合并分式来化简该表达式。
步骤依据
代数化简。
视频直接表达
公式
$= \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n \cdot \frac{1}{n}}{\sqrt{n^2+2} \cdot \sqrt{\frac{1}{n^2}}} \right]$
解释
将分子和分母同乘以 $1/n$ ，使其进入分母的平方根内，变为 $1/n^2$ 。
步骤依据
代数变形，用于计算 n 趋于无穷时的极限。
视频直接表达
公式
$= \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{n^2}}} \right]$
解释
将分子化简为 1，并将 $1/n^2$ 分配进分母的平方根内。
步骤依据
代数化简： $n*(1/n)=1$ ，且 ( $n^2+2$ )*( $1/n^2$ ) = $1 + 2/n^2$ 。
视频直接表达
公式
$= \frac{1}{\sqrt{1+0}}$
解释
计算 n 趋于无穷时的极限，此时项 $2/n^2$ 趋近于 0。
步骤依据
极限运算法则： $\lim_{n \to \infty} \frac{c}{n^k} = 0$ ，其中 $k > 0$ 。
视频直接表达

结论

该极限值为 1，是一个有限的正数，说明这两个级数具有相同的敛散性。

第一个例子中的极限计算。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{1+2/n^2}}\right]=\frac{1}{\sqrt{1+0}}$ ，随后 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}\cdot\frac{n}{1}\right]=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{n}{\sqrt{n^2+2}\sqrt{1/n^2}}\right]$ 。
声音
观察依据
说话人称该结果等于一。

待核验内容

中间代数化简过程在采样帧中仅部分可辨，但所展示的极限值1清晰可见。

严格证明

步骤

公式
$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{1+2/n^2}}\right]=\frac{1}{\sqrt{1+0}}$
解释
黑板将商式重写，使主导的关于n的依赖关系出现在平方根内部。
步骤依据
对所展示表达式的代数运算。
视频直接表达
公式
$\rho=1$
解释
化简后的极限被记为1。
步骤依据
对所展示的极限表达式进行直接求值。
视频直接表达

结论

第一个例子的极限比较比值为1。

第二个例子中的极限计算

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{a_n}{1}\cdot\frac{1}{b_n}\right]$ ，然后代入 $a_n=\frac{1}{3^n+5}$ 以及 $1/b_n=3^n$ ，最终得到 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{3^n}{3^n}\right]=1$ 。
声音
观察依据
讲解者指出，当n非常大时，5可忽略不计，因此该表达式化为 $3^n$ 除以 $3^n$ ，其极限为1。

严格证明

步骤

公式
$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{a_n}{1}\cdot\frac{1}{b_n}\right]$
解释
利用两个级数通项的比值建立极限比较。
步骤依据
极限比较判别法的方法。
视频直接表达
公式
$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{3^n+5}\cdot\frac{3^n}{1}\right]$
解释
代入具体通项： $a_n=\frac{1}{3^n+5}$ 与 $b_n=\frac{1}{3^n}$ 。
步骤依据
直接从所展示的级数中代入。
视频直接表达
公式
$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{3^n}{3^n}\right]$
解释
当n很大时，+5相对于 $3^n$ 可视为可忽略。
步骤依据
讲解者陈述的主导项简化。
视频直接表达
公式
$=1$
解释
该比值恰好化简为1。
步骤依据
代数约分。
视频直接表达

结论

第二个例子的极限比较比值为1。

所展示的比较极限计算

时间近似

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
底部线条显示序列 $\lim_{n\to\infty}[\frac{a_n}{1}\cdot\frac{1}{b_n}] = \lim_{n\to\infty}[\frac{1}{3^n+5}\cdot\frac{3^n}{1}] = \lim_{n\to\infty}[\frac{3^n}{3^n}] = 1$ 。
声音
观察依据
说话人在极限确定后直接口头得出结论。

待核验内容

中间至底部的代数步骤在书写上明显错误： $\frac{1}{3^n+5}\cdot\frac{3^n}{1}$ 化简为 $\frac{3^n}{3^n+5}$ ，而非 $\frac{3^n}{3^n}$ 。
该片段未展示取极限前的标准中间改写式 $\frac{3^n}{3^n+5}=\frac{1}{1+5/3^n}$ 。

严格证明

步骤

公式
$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{a_n}{1}\cdot\frac{1}{b_n}\right]$
解释
黑板上利用给定项 $a_n$ 和比较项 $b_n$ 设定了极限比较量。
步骤依据
这是屏幕上展示的极限比较法设定过程。
视频直接表达
公式
$=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{3^n+5}\cdot\frac{3^n}{1}\right]$
解释
代入 $a_n=\frac{1}{3^n+5}$ 和 $b_n=\frac{1}{3^n}$ ，得 $1/b_n=3^n$ 。
步骤依据
直接依据黑板上写出的定义进行代入。
视频直接表达
公式
$=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{3^n}{3^n}\right]$
解释
屏幕上显示的下一行将乘积重写为 $\frac{3^n}{3^n}$ 。
步骤依据
黑板上确实如此呈现，但这并非前一行代数表达式的有效化简。
视频直接表达
公式
$=1$
解释
最终框出的结果是 $1$ 。
步骤依据
视频将比较极限视为等于 $1$ ；该极限的正确值也可由 $\frac{3^n}{3^n+5}\to 1$ 得出。
视频直接表达

结论

屏幕上显示的比较极限为 $1$ ，此值被用于通过极限比较法得出收敛结论。

对同一极限的正确化简

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
由黑板可知， $a_n=\frac{1}{3^n+5}$ 和 $b_n=\frac{1}{3^n}$ 均为显式给出。

严格证明

步骤

公式
$\frac{a_n}{b_n}=\frac{\frac{1}{3^n+5}}{\frac{1}{3^n}}$
解释
构造极限比较法所要求的商。
步骤依据
比较极限的定义。
补充解释
公式
$=\frac{3^n}{3^n+5}$
解释
分子分母同乘以某式，以化简复分式。
步骤依据
代数化简。
补充解释
公式
$=\frac{1}{1+\frac{5}{3^n}}$
解释
分子分母同除以 $3^n$ 。
步骤依据
处理含主导指数项的极限时的标准方法。
补充解释
公式
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{5}{3^n}}=1$
解释
由于 $5/3^n\to 0$ ，分母趋于 $1$ 。
步骤依据
极限运算法则及事实 $3^n\to\infty$ 。
补充解释

结论

数学上正确的比较极限是 $1$ ，虽中间代数步骤有误，但与视频最终得出的数值结论一致。

例题详解 · 7

示例： $Σ n^2/(n^5+8)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：“现在我们来尝试一道例题”，接着读出该级数：n 的平方除以 n 的五次方加 8，并要求使用极限比较判别法判断其收敛性或发散性。
公式
观察依据
黑板上写出 $Σ_{n=1}^{\infty } n^2/(n^5+8)$ ，然后构建比较级数 $Σ_{n=1}^{\infty } n^2/n^5 = Σ_{n=1}^{\infty } n^{-3} = Σ_{n=1}^{\infty } 1/n^3$ ，并标注其为 p-级数，其中 $p = 3$ ，且 $p > 1$ 。

待核验内容

该片段在实际计算比值极限之前、以及在对原级数作出最终收敛性或发散性结论之前即已结束。

题目

使用极限比较判别法判断级数 $Σ_{n=1}^{\infty } n^2/(n^5+8)$ 是收敛还是发散。

已知条件

该级数为 $Σ_{n=1}^{\infty } n^2/(n^5+8)$ 。
应采用的方法是极限比较判别法。

目标

选取一个较简单的比较级数，并指出该比较级数所适用的收敛判据。

步骤

公式
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$
解释
写出目标级数。
步骤依据
这是口头陈述并板书的例题。
视频直接表达
公式
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5}$
解释
通过忽略分母中低阶的 +8项（当 n 很大时），选取一个更简单的比较级数。
步骤依据
说话者指出：当 n 变得非常大时，8变得可以忽略不计。
视频直接表达
公式
$\sum_{n=1}^{\infty} n^{-3}$
解释
利用指数相减简化所选的比较项。
步骤依据
说话者指出：2 减去 5 等于负 3。
视频直接表达
公式
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$
解释
将比较级数改写为标准 p-级数形式。
步骤依据
黑板上展示了代数等价关系。
视频直接表达
公式
$p\text{-series},\quad p=3,\quad p>1$
解释
将比较级数识别为p-级数，并记录相关参数及条件。
步骤依据
黑板上的红色标注将该级数标记为p-级数，并写出 $p = 3$ 且 $p > 1$ 。
视频直接表达

结果

本片段中，演算结果是将比较级数 $Σ 1/n^3$ 识别为p-级数，其中 $p = 3$ ，且满足 $p > 1$ 。原始级数的最终收敛性结论在本片段结束前未在画面或音频中给出。

检验

本片段未展示验证步骤；片段在比值极限计算完成前、结论陈述前即已结束。

例题1：将级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ 进行比较。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ ，随后是完整的极限计算过程，最终结果为1，并写出“收敛”一词。
声音
观察依据
讲解者说明p级数的性质，建立极限比较判别法，计算极限，并得出收敛的结论。

题目

使用极限比较判别法判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$ 是否收敛。

已知条件

目标级数： $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$ 。
比较级数： $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ 。
视频中陈述的已知事实：p级数在 $p > 1$ 时收敛。

目标

判断目标级数的收敛性。

步骤

公式
$a_n=\frac{n^2}{n^5+8},\ b_n=\frac{1}{n^3}$
解释
标出两个级数的各项。
步骤依据
黑板上的直接识别。
视频直接表达
公式
$\lim_{n\to\infty}\left[a_n\cdot \frac{1}{b_n}\right]$
解释
构造极限比较表达式。
步骤依据
叙述者所述的方法。
视频直接表达
公式
$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{n^2}{n^5+8}\cdot n^3\right]$
解释
代入并化简倒数。
步骤依据
代数运算。
视频直接表达
公式
$\lim_{n\to\infty}\frac{n^5}{n^5+8}=1$
解释
合并幂次，并利用同次幂首项系数相等求有理函数极限。
步骤依据
多项式极限法则。
视频直接表达
公式
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}\text{ 收敛}$
解释
将已知 p-级数的收敛性传递至目标级数。
步骤依据
极限比较判别法。
视频直接表达

结果

级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$ 收敛。

检验

该片段通过展示比较级数 $\sum 1/n^3$ 收敛（ $p=3>1$ ），且通项比值的极限等于有限数 1，验证了结果。

例2：仅针对级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 的陈述。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 。
声音
观察依据
叙述者说：“现在我们来看第二个例题”，并要求使用极限比较判别法。

待核验内容

该解法未在提供的片段中出现。
起始下标 $n=0$ 可见，但视频未分析该取值是否影响比较判别法的论证。

题目

使用极限比较判别法判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 是否收敛或发散。

已知条件

黑板上显示的级数： $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 。

目标

利用极限比较判别法判断收敛性或发散性。

步骤

公式
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$
解释
写出待检验的新级数。
步骤依据
黑板上可见。
视频直接表达
公式
$\text{Apply the limit comparison test}$
解释
讲解者指示观众采用之前相同的方法。
步骤依据
口述提示。
视频直接表达

结果

本片段内未给出答案。

检验

在所提供的片段中未执行此步骤。

将一个根式级数与调和级数进行比较

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
整段内容专门用于比较级数 $\sum \frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 与 $\sum \frac{1}{n}$ 。

待核验内容

视频在结束前并未明确给出第一个级数的最终结论，但已为其证明做好了铺垫。

题目

使用极限比较判别法判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 的收敛性。

已知条件

aₙ 等于 1 除以根号下 n 的 2 次方加 2
$b_n = \frac{1}{n}$ （调和级数，发散）

目标

计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ ，以判断原级数是否发散。

步骤

公式
$\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{\sqrt{n^2+2}} \cdot n \right]$
解释
写出两项的比值。
步骤依据
极限比较判别法的设定。
视频直接表达
公式
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{n^2}}}$
解释
分子分母同除以 n（根号内则除以 $n^2$ ）。
步骤依据
无穷远处极限的代数化简。
视频直接表达
公式
$\frac{1}{\sqrt{1+0}} = 1$
解释
取 $n \to \infty$ 时的极限。
步骤依据
极限的计算结果。
视频直接表达

结果

该极限为1。由于1是一个有限正数，且比较级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，因此原级数也发散。

检验

结果符合预期行为，因为当 n 很大时， $\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 的行为类似于 $\frac{1}{n}$ 。

第一个例题：通过与 $1/n$ 比较判别发散性。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示的级数为 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 与 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}$ 。
声音
观察依据
主讲人得出结论：由于该极限为有限值，且比较级数发散，因此原级数也必然发散。

待核验内容

下标 $n=0$ 与项 $1/n$ 在 $n=0$ 处冲突；视频未对此作出说明。

题目

判断 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ ，使用比较级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}$ 。

已知条件

aₙ 等于 1 除以根号下 n 的 2 次方加 2
bₙ 等于 1 除以 n
所显示的极限等于1。

目标

判断原级数是发散还是收敛。

步骤

公式
$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{a_n}{1}\cdot\frac{1}{b_n}\right]$
解释
构造极限比较商。
步骤依据
极限比较法。
视频直接表达
公式
$=1$
解释
所求极限为有限正数1。
步骤依据
板书代数推导与口述结论。
视频直接表达
公式
$\sum \frac{1}{n} \text{ diverges}$
解释
比较级数被判定为发散。
步骤依据
主讲人陈述。
视频直接表达

结果

级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 发散。

检验

该结论由有限正极限及比较级数的发散性共同推出。

第二个例题：通过与几何级数比较判别收敛性。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$ ，并与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}$ 作比较。
声音
观察依据
主讲人提问该级数是否收敛或发散，指出比较级数为公比 $r=1/3$ 的几何级数，计算得极限为1，并说明比较级数收敛。

题目

判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$ 的收敛性或发散性。

已知条件

aₙ 等于 1 除以 3 的 n 次方加 5
bₙ 等于 1 除以 3 的 n 次方，等于 1 除以 3 的整体的 n 次方
r 等于 1 除以 3
∣r∣ < 1

目标

判断给定级数的收敛性或发散性。

步骤

公式
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$
解释
写出目标级数。
步骤依据
黑板上的题目陈述。
视频直接表达
公式
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}$
解释
通过忽略大 n 时的 +5，选择一个更简单的比较级数。
步骤依据
主讲人指出：当 n 很大时，5可忽略不计。
视频直接表达
公式
$\frac{1}{3^n}=\left(\frac{1}{3}\right)^n$
解释
将比较项改写为几何级数的一项。
步骤依据
代数恒等式。
视频直接表达
公式
$r=\frac{1}{3},\ |r|<1$
解释
确定公比，并应用几何级数的收敛判别法则。
步骤依据
板书与口头讲解。
视频直接表达
公式
$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{3^n+5}\cdot\frac{3^n}{1}\right]=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{3^n}{3^n}\right]=1$
解释
计算极限比较比值。
步骤依据
黑板上展示了代入法与主导项简化法。
视频直接表达

结果

级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$ 收敛。

检验

该极限为有限正数 1，且作为比较对象的几何级数收敛，因为 |r| < 1。

判定 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$ 的收敛性。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
整块黑板的内容均围绕判定 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$ 的收敛性展开。
声音
观察依据
讲话者总结道：“该级数也必为收敛级数。本题到此结束。”

待核验内容

关于 $\sum 1/3^n$ 收敛性的证明在此片段中未予展开。

题目

判断无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$ 是否收敛。

已知条件

对应的式子为： $a_n=\frac{1}{3^n+5}$
所选比较级数： $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}$
显示的比较极限： $1$

目标

得出原级数收敛或发散的结论。

步骤

公式
$\text{Choose } b_n=\frac{1}{3^n}$
解释
选取一个对大的 $n$ 而言行为与给定级数相似的、更简单的正项级数。
步骤依据
极限比较判别法的标准策略。
视频直接表达
公式
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$
解释
计算两项之比的极限。
步骤依据
这是极限比较判别法中的假设检验步骤。
视频直接表达
公式
$\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{3^n+5}\cdot\frac{3^n}{1}\right]$
解释
代入 $a_n$ 和 $b_n$ 的显式表达式。
步骤依据
直接从黑板上代入。
视频直接表达
公式
$=1$
解释
黑板上记录的极限比值为 $1$ 。
步骤依据
用于得出结论的最终显示值。
视频直接表达
公式
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}\text{ 收敛}$
解释
比较级数是公比为 $1/3$ 的几何级数，因此收敛。
步骤依据
已知的几何级数事实；视频片段展示了比值形式，但未重述该定理。
依据视频推导
公式
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}\text{ 收敛}$
解释
根据极限比较判别法，原级数与比较级数具有相同的敛散性。
步骤依据
极限为有限非零值，且比较级数收敛。
视频直接表达

结果

级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$ 收敛。

检验

与口述结论及黑板上书写的蓝色‘收敛’标签一致。

图示与动画 · 12

定理板构建与颜色强调

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
白色手写内容依次出现在黑色背景上：先是 $a_n > 0$ 和 $b_n > 0$ ，接着是极限表达式，最后是结论行，含 $Σ a_n$ 与 $Σ b_n$ → 收敛和 → 发散。
动画
观察依据
当主讲人讨论收敛性传递时，蓝色强调标记围绕 $Σ b_n$ 和 L 出现；当讨论发散性传递时，红色强调标记围绕 $Σ a_n$ 和 $Σ b_n$ 出现。

图中对象

黑色背景
白色手写公式
蓝色强调标记
红色强调标记

变化过程

公式从假设到结论逐行添加。
蓝色批注在收敛性解释过程中突出显示比较级数和极限值。
红色批注在发散性解释过程中突出显示两个级数。

不变量

基础定理陈述在整个强调序列中保持不变。
正性假设 $a_n > 0$ 和 $b_n > 0$ 始终显示在顶部。

数学含义

颜色编码直观地强化了如下事实：一旦比值极限为一个正的有限数，则其中一个级数的收敛性或发散性便传递给另一个级数。

示例板构建过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
经过短暂的黑色过渡后，写出一个新的白色示例：左侧为 $Σ_{n=1}^{\infty } n^2/(n^5+8)$ ，右侧通过连续改写构造出比较级数 $Σ 1/n^3$ 。
动画
观察依据
在比较级数下方添加红色文字：p-级数， $p = 3$ ，且 $p > 1$ 。

图中对象

左侧为原级数
右侧为比较级数
红色分类文字

变化过程

该例题从给定的有理数幂级数出发。
右侧的比较级数逐步化简为 $1/n^3$ 。
随后将该比较级数归类为p-级数，其中 $p = 3$ ，并指出条件 $p > 1$ 。

不变量

左侧的原级数保持不变，而右侧则逐步构建比较级数。

数学含义

视觉布局将待判别级数与所选基准级数分开展示，使比较策略一目了然。

两种级数项的颜色编码标识

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
目标项用红色方框标出并标注为 $a_n$ ；比较项用蓝色方框标出并标注为 $b_n$ ；最终的收敛箭头连接这两个带方框的表达式。

图中对象

红色方框框住 $2/5+8$ ，并标注为 $a_n$ 。
蓝色方框框住 $1/3$ ，并标注为 $b_n$ 。
白色箭头从收敛结论指向两个方框。

变化过程

黑板首先在视觉上将两项分隔开。
随后在它们下方写出极限计算过程。
最后用箭头表明该收敛结论同时适用于两个级数。

不变量

在第一个例题中，两个原始级数始终显示在顶部。

数学含义

颜色编码区分了待判定收敛性的级数与已知收敛性的基准级数，并使比较结构清晰明确。

过渡到第二个例题

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
第一个例题消失，新黑板出现，仅显示新的级数 $\sum _{n=0}^{\infty }1$ /√( $2+2$ )。

图中对象

新白板区域。
单重求和表达式 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 。

变化过程

第一个例题的所有内容均已清除。
屏幕上仅保留新的题目陈述。

不变量

教学形式保持不变：深色背景上的手写数学内容。

数学含义

此次视觉重置标志着一道新的练习题，而非首个证明的延续。

级数各项的颜色编码

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
用红色方框标出第一个级数的项，并标注为 $a_n$ ；用蓝色方框标出第二个级数的项，并标注为 $b_n$ 。

图中对象

红色方框
蓝色方框
标注 $a_n$ 和 $b_n$

变化过程

绘制方框是为了分离出两个待比较级数的一般项。

不变量

方框内的数学表达式保持不变。

数学含义

视觉上的分离有助于在极限计算过程中区分哪一项属于原级数、哪一项属于比较级数。

逐步代数化简

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
白色圆圈在分式化简过程中高亮显示各部分（例如， $n * 1/n$ 化为 1）。
公式
观察依据
表达式从 $\frac{n}{\sqrt{n^2+2}}$ 变形为 $\frac{1}{\sqrt{1+2/n^2}}$ 。

图中对象

分式项
平方根表达式

变化过程

分子由 $n*(1/n)$ 化简为 1。
分母的根式展开后，包含 $1/n^2$ 分配到 $n^2+2$ 上。

不变量

该表达式的值在各步骤中保持等价。

数学含义

展示了求有理函数/根式函数在无穷远处极限的标准方法：用 n 的最高次幂去除各项。

黑板上已完成第一个例题。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
两个用方框标出的级数项并排显示，分别带有红色和蓝色标注，旁边手写的极限值等于 1。

图中对象

红色方框标注 $a_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$
蓝色方框标注 $b_n = \frac{1}{n}$
极限表达式
包含 1 的蓝色方框

变化过程

黑板上已完整写出比较法的设定及极限计算过程。
主讲人通过口头指示指向发散结论。

不变量

所显示的极限值仍为 1。
两个被比较的级数在屏幕上保持固定。

数学含义

该图示总结了一个已完成的极限比较法论证：一个有限正极限将发散性从比较级数传递到原级数。

过渡到新例子

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
先前书写的内容消失，黑板变为空白，随后开始书写下一个例子。

图中对象

空白黑板

变化过程

所有先前的公式均被清除。

不变量

上一个例子中没有任何数学内容被保留。

数学含义

此次清空标志着开始一道新的例题，而非同一计算过程的延续。

第二个例子的逐步构建过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
教师先写出新级数，再写出比较级数，接着标出几何级数、公比、收敛性说明，最后完成极限比较法的计算，结果为1。

图中对象

从 n 等于1到无穷大的求和，分子为1，分母为3的 n 次方加5
从 n 等于1开始到无穷的求和，分子为1，分母为3的 n 次方
1除以3的n次方
几何级数
r＝1除以3
∣r∣＜1
收敛
极限表达式以1结尾

变化过程

先给出目标级数，再引入比较级数。
补充说明该级数属于几何级数，并写出其公比。
最后写出极限比较法的代数式，并化简为1。

不变量

目标级数始终为从n＝1到无穷大、分子为1、分母为3的n次方加5的求和式。
比较级数始终为从n＝1到无穷大、分子为1、分母为3的n次方的求和式。

数学含义

图示序列展示了教师如何选取比较级数、验证其收敛性，再通过极限比较判别法将该结论迁移至原级数。

初始白板布局

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
静态白板布局：左上方为带红色方框及 $a_n$ 标签的原级数；右上方为用蓝色圆圈标出并重写为 $(1/3)^n$ 的比较级数；下方几行计算极限，并用红色方框标出结果 $1$ 。

图中对象

对应的式子为： $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$
围绕 $\frac{1}{3^n+5}$ 的红色方框
$a_n$ 红色标签
对应的式子为： $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}$
比较级数周围的蓝色圆圈
对应的式子为： $(\frac{1}{3})^n$
极限表达式
框出的 $1$

变化过程

在结论词出现之前，画面无明显变化。

不变量

两个级数并排呈现，便于比较。
极限计算过程持续显示在它们下方。

数学含义

该版式在视觉上将目标级数、基准级数以及比值判别法所需的比值极限计算清晰分隔开来。

书写结论标签

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
在约4秒至9秒之间，单词“Convergent”以蓝色书写于两个级数之间。
声音
观察依据
书写该词的同时，讲解者指出该级数也必为收敛。

待核验内容

精确到每一笔的书写时序仅为近似。

图中对象

蓝色手写文字“收敛”
原级数
比较级数

变化过程

两个级数之间出现一个新的蓝色标签。
黑板内容从计算转向结论。

不变量

先前写下的公式仍保留在屏幕上。
带方框的极限值 $1$ 保持可见。

数学含义

动画标示本例的最终推断：因为比较极限为 $1$ 且基准级数收敛，故原级数被判定为收敛。

例题讲解结束后的黑屏

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
约在10秒时黑板消失，画面变为纯黑色并持续至片段结束。

图中对象

纯黑色画面

变化过程

所有数学内容大约在10秒时消失。

不变量

不再出现任何视觉信息。

数学含义

该时间段内不包含额外的数学内容。

易错点 · 6

极限必须为正且有限

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者明确指出：只有当极限等于某个正的有限数L时，才能得出两个级数具有相同敛散性的结论。
动画
观察依据
蓝色圆圈在定理陈述中突出强调L。

误区

有人可能认为，只要 $a_n/b_n$ 存在极限，就足以应用极限比较判别法。

说明

本片段中特别强调：L必须是一个正的有限数；对L的强调表明，这一限制对于传递收敛性或发散性至关重要。

通过主导项选取比较级数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，当n充分大时，8变得可忽略不计，从而引出与 $n^2/n^5$ 进行比较的动机。

误区

人们可能会尝试将级数与原始完整表达式进行比较，或在选取基准级数时保留低阶常数项。

说明

该例题展示了如何对充分大的 n 选取主导幂次，将 $n^2/(n^5+8)$ 简化为更简单的比较形式 $n^2/n^5 = 1/n^3$ 。

仅存在有限极限本身并不能证明收敛性。

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
讲解者在已确认比较级数收敛之后，说道：“因为它趋近于一个有限数，所以这两个级数都必须收敛。”

待核验内容

这是分析层面的澄清，并非视频中明确说出的警告。

误区

人们可能从短语“趋近于一个有限数”推断出：只要 $a_n/b_n$ 的极限是有限的，两个级数就自动收敛。

说明

在该片段中，收敛性成立，是因为该极限既有限又非零，且比较级数 $\sum 1/n^3$ 已知收敛。仅凭极限有限这一条件，并不足以构成完整的判别准则。

调和级数的起始索引

时间近似

补充解释

来源依据

公式
观察依据
求和符号显示两个级数的下限均为 $n=0$ 。

待核验内容

尚不清楚此处将起始索引设为 0（跳过未定义的首项）是有意为之，还是一个简单错误；因为调和级数严格定义在 n>=1 上。

误区

从 $n=0$ 开始写出调和级数。

说明

调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 在 $n=0$ 处无定义。标准记法要求下限为 $n=1$ 。本视频中使用了 $n=0$ ，对此特定级数而言在技术上是不正确的。

将加性常数视为在 n 很大时可忽略不计。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者指出，当 n 很大时，5可忽略不计，并在极限化简过程中重复强调这一观点。

误区

人们可能认为 +5 在 $3^n+5$ 中始终影响收敛性。

说明

在此极限比较论证中，随着 n 增大，加性常数被 $3^n$ 主导，因此比值简化为 1，且比较级数决定最终结论。

黑板上展示了错误的中间化简步骤。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $\frac{1}{3^n+5}\cdot\frac{3^n}{1}$ ，随后是 $\frac{3^n}{3^n}$ 。

误区

人们可将黑板上的内容理解为 $\frac{1}{3^n+5}\cdot\frac{3^n}{1}=\frac{3^n}{3^n}$ 。

说明

该等式在代数上不成立。该乘积化简为 $\frac{3^n}{3^n+5}$ ，然后进一步化为 $\frac{3^n}{3^n+5}\to 1$ ，即 $n\to\infty$ 。最终极限值 $1$ 是正确的，但所展示的中间步骤不正确。

概念关系 · 14

极限比较判别法的设定 → 极限比较判别法的结论形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上首先写出假设： $a_n > 0$ ， $b_n > 0$ ， $\lim (a_n/b_n)=L$ ；然后写出关于 $Σ a_n$ 和 $Σ b_n$ 的结论。

先修

解释

该判别法的结论形式依赖于首先确立各项为正的假设以及比值极限的假设。

极限比较判别法陈述 → 示例： $Σ n^2/(n^5+8)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
陈述完定理后，主讲人说：“现在我们来尝试一个例题”，并将其方法应用于级数 $Σ n^2/(n^5+8)$ 。

应用

解释

该例题是极限比较判别法的直接应用，用于判定某一具体级数的敛散性。

示例： $Σ n^2/(n^5+8)$ → 例题中的 p-级数识别

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
比较级数 $Σ 1/n^3$ 被标记为 p-级数，其中 $p = 3$ ，且 $p > 1$ 。

包含

解释

该例题包含一个子步骤：所选比较级数被识别为 p-级数，从而可运用 $p > 1$ 这一判别准则。

示例中使用的 p-级数收敛判别法。 → 极限比较法的设定

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者首先陈述 p-级数的事实，然后说：“现在我们来使用极限比较判别法。”
公式
观察依据
相同的级数 $\sum 1/n^3$ 在极限计算中作为基准级数出现。

应用

解释

已知的 p-级数收敛性在极限比较判别法中被用作基准。

倒数的倒数项 → 分子分母次数相等的有理函数的极限

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板将 $\frac{1}{1/n^3}$ 变形为 $n^3$ ，然后相乘得到 $\frac{n^5}{n^5+8}$ 。

证明依赖

解释

在计算有理函数的极限之前，必须先进行倒数化简。

极限比较法的设定 → 例2：仅针对级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 的陈述。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者说：“现在我们来看第二个例题”，并再次指示使用极限比较判别法。

应用

解释

第二个问题被介绍为对第一个例题中所演示方法的又一次应用。

p-级数的收敛性/发散性 → 应用极限比较判别法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人将比较级数识别为 p-级数，以先确立其发散性，再应用极限比较判别法。

应用

解释

已知p级数（调和级数）发散，这是使用极限比较判别法证明目标级数发散所需的前提条件。

极限比较法的设定步骤 → 等比级数识别

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
比较级数 $\sum \frac{1}{3^n}$ 被重写为 $\left(\frac{1}{3}\right)^n$ ，并标注为几何级数。

应用

解释

极限比较法使用一个已知的几何级数作为基准级数，其收敛行为已被充分理解。

等比级数识别 → 等比级数的收敛判据

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
在识别出该级数为几何级数后，黑板上记下 $r=\frac{1}{3}$ 和 |r|<1，然后写下“收敛”。

证明依赖

解释

正是将比较级数识别为几何级数，才使得收敛判据 |r|<1得以应用。

调和型比较级数发散 → 第一个例子的结论

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者指出，由于极限是有限的，且比较级数发散，因此另一级数也必然发散。

证明依赖

解释

原级数的发散结论依赖于两个条件：极限为有限正值，以及比较级数发散。

比较用的几何级数的收敛性 → 第二个例子的结论

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者指出极限值为有限值，并判定该比较为收敛的几何级数。

证明依赖

解释

级数 $\sum \frac{1}{3^n+5}$ 的收敛结论，取决于几何比较级数的收敛性以及该有限正值极限。

极限比较判别法 → 几何比较级数 $\sum (1/3)^n$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
比较级数明确给出为 $\sum 1/3^n$ ，并重写为 $(1/3)^n$ 。
声音
观察依据
该结论依赖于该比较级数的收敛性。

应用

解释

极限比较判别法使用几何级数 $\sum (1/3)^n$ 作为基准，其收敛性已知。

问题定位 · 21

什么是极限比较判别法？它需要哪些条件？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人引入并陈述极限比较判别法。

涉及知识点

极限比较判别法的设定
极限比较判别法的结论形式
极限比较判别法陈述

为什么在极限比较判别法中，比值的极限必须是正的且有限的？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，该极限必须等于某个正的有限数 L。

涉及知识点

极限比较判别法的结论形式
极限必须为正且有限

对于形如 $n^2/(n^5+8)$ 的有理表达式，如何选择比较级数？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人解释，当 n 很大时，8变得可以忽略不计，并与 $n^2/n^5$ 作比较。

涉及知识点

推导本例中的比较级数
示例： $Σ n^2/(n^5+8)$
通过主导项选取比较级数

当比较级数为 $1/n^3$ 时，所依据的是 p-级数的哪一条件？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 p-级数，其中 $p = 3$ ，且 $p > 1$ 。

涉及知识点

例题中的 p-级数识别
提到了 p-级数的收敛判别准则

为什么选择 $\sum 1/n^3$ 作为 $\sum n^2/(n^5+8)$ 的比较级数？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板将 $\frac{n^2}{n^5+8}$ 与 $\frac{1}{n^3}$ 配对，并将后者标记为 p-级数。

涉及知识点

示例中使用的 p-级数收敛判别法。
极限比较法的设定

视频如何将除法改写为乘以倒数的形式？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
表达式从 $a_n\cdot \frac{1}{b_n}$ 变为 $\frac{n^2}{n^5+8}\cdot n^3$ 。

涉及知识点

极限比较法的设定
倒数的倒数项

为什么 $\lim_{n\to\infty}\frac{n^5}{n^5+8}=1$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者解释：分子与分母次数相同，极限值等于首项系数之比。

涉及知识点

分子分母次数相等的有理函数的极限

视频在计算出该极限后，究竟是依据什么确切理由得出原级数收敛的结论？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，由于该极限为有限值，且第一个级数收敛，因此另一个级数也必然收敛。

涉及知识点

极限比较法的设定
p 级数比较判别法：收敛
第一个例子的结论

本片段是否解完了第二个例子？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
在片段结束前，仅写出了级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 。

涉及知识点

例2：仅针对级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 的陈述。

在处理含根式的级数时，如何为极限比较判别法选取比较级数？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人一开始便提问：“我们还能将其与哪个级数进行比较？”

涉及知识点

应用极限比较判别法
将一个根式级数与调和级数进行比较

根据p级数判别法，为何级数 $1/n$ 发散？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写着“ $p=1$ ”和“发散”。

涉及知识点

p-级数的收敛性/发散性
调和级数的发散性

如何为两个级数设置极限比较判别法？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出极限比较法的表达式，含 $a_n$ 和 $1/b_n$ 。

涉及知识点

极限比较法的设定步骤

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 黑屏，无数学内容；仅为连续覆盖而保留。

已覆盖 · 定理陈述被写出并讲解，包括正项假设、比值极限 L，以及二者收敛性或发散性一致的结论。

已覆盖 · 定理与例题之间的短暂黑屏过渡；无数学内容。

已覆盖 · 引入例题，推导并化简比较级数为 $Σ 1/n^3$ ，并指出它是一个 p-级数，其中 $p = 3$ ，且 $p > 1$ 。该片段在最终结论说出前结束。

已覆盖 · 开场板书给出了p-级数基准及其收敛条件：当 $p=3>1$ 时收敛。

已覆盖 · 完整演示的第一个例子：定义 $a_n$ 与 $b_n$ ，计算极限，并得出收敛结论。

已覆盖 · 第二个例子被引入，观众被告知应使用极限比较判别法，但本片段未展示其求解过程。

已覆盖 · 本段内容完整涵盖了对某一具体例子实施极限比较判别法的设定与执行过程。

已覆盖 · 完成第一个极限比较例题，结论为发散。

已覆盖 · 示例之间屏幕清空；这一简短过渡中未引入新的数学内容。

已覆盖 · 第二个例子从零开始书写，与几何级数进行比较，最终得出收敛的结论。

已覆盖 · 完整解题示例：问题设定、比较极限计算、口头结论，以及屏幕显示的‘收敛’标签。

已覆盖 · 纯黑色画面，不再呈现任何数学内容。

探索视频中的知识

已审核的主题路径

极限比较判别法

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

极限比较判别法的假设条件

极限比较判别法的结论

为何极限值L至关重要

示例级数

如何选取比较级数

化简为基准级数

p-级数识别

例题中所用的p-级数基准

设定极限比较判别法

比较极限的代数化简

有理函数极限的求值

第一个级数的结论

第二个例子的题干陈述（仅题干）

极限比较判别法设定

确定比较级数

p-级数发散规则

含根式的极限求值

极限比较法的设定

第一个例子：发散性的传递

选择比较级数

识别几何级数

几何级数收敛判据

第二个例子：极限等于 1

第二个例子：收敛结论

详细学习笔记

ana_nan​

bnb_nbn​

n

L

p

n

p

ana_nan​

bnb_nbn​

lim⁡n→∞\lim_{n\to\infty}limn→∞​

n

ana_nan​

极限比较判别法的设定

极限比较判别法的结论形式

例题中的 p-级数识别

示例中使用的 p-级数收敛判别法。

极限比较法的设定

倒数的倒数项

分子分母次数相等的有理函数的极限

调和级数

p-级数的收敛性/发散性

极限比较法的设定步骤

等比级数识别

等比级数的收敛判据

极限比较判别法陈述

提到了 p-级数的收敛判别准则

p 级数比较判别法：收敛

第一个例子的结论

调和级数的发散性

调和型比较级数发散

第一个例子的结论

比较用的几何级数的收敛性

第二个例子的结论

极限比较审敛法得出的结论

推导本例中的比较级数

对求和式 ∑n=1∞n2n5+8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}∑n=1∞​n5+8n2​ 的完整推导过程

仅展示第二个例子的设定。

应用极限比较判别法

第一个例子中的极限计算。

第二个例子中的极限计算

所展示的比较极限计算

对同一极限的正确化简

示例：Σn2/(n5+8)Σ n^2/(n^5+8)Σn2/(n5+8)

例题1：将级数 ∑n=1∞n2n5+8\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}∑n=1∞​n5+8n2​ 与 ∑n=1∞1n3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}∑n=1∞​n31​ 进行比较。

例2：仅针对级数 ∑n=0∞1n2+2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}∑n=0∞​n2+2​1​ 的陈述。

将一个根式级数与调和级数进行比较

第一个例题：通过与1/n1/n1/n比较判别发散性。

第二个例题：通过与几何级数比较判别收敛性。

判定∑n=1∞13n+5\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}∑n=1∞​3n+51​的收敛性。

定理板构建与颜色强调

$a_n$

$b_n$

$a_n$

$b_n$

$\lim_{n\to\infty}$

$a_n$

对求和式 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$ 的完整推导过程

示例： $Σ n^2/(n^5+8)$

例题1：将级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^5+8}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ 进行比较。

例2：仅针对级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 的陈述。

第一个例题：通过与 $1/n$ 比较判别发散性。

判定 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n+5}$ 的收敛性。

极限比较判别法陈述 → 示例： $Σ n^2/(n^5+8)$

示例： $Σ n^2/(n^5+8)$ → 例题中的 p-级数识别

极限比较法的设定 → 例2：仅针对级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ 的陈述。

极限比较判别法 → 几何比较级数 $\sum (1/3)^n$

对于形如 $n^2/(n^5+8)$ 的有理表达式，如何选择比较级数？

当比较级数为 $1/n^3$ 时，所依据的是 p-级数的哪一条件？

为什么选择 $\sum 1/n^3$ 作为 $\sum n^2/(n^5+8)$ 的比较级数？

为什么 $\lim_{n\to\infty}\frac{n^5}{n^5+8}=1$ ？

根据p级数判别法，为何级数 $1/n$ 发散？