如何建立二重积分

1. 公式
   观察依据

   显示的公式是$\int_a^b f(x)\,dx$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，在单变量微积分中，积分可用于计算曲线下的面积。

$\int_a^b f(x)\,dx$

表示函数$f(x)$的图像从$x=a$到$x=b$之间所围成面积的单变量定积分。

$x$在$[a,b]$上取值；$f$是一个单变量函数。

1. 公式
   观察依据

   显示的公式是$\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，二重积分可用于求曲面下方的三维体积，其计算方法是依次进行两次积分。

$\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$

在矩形区域上对曲面下方体积进行计算的累次二重积分。

外层变量$x$在$[a,b]$上取值；内层变量$y$在$[c,d]$上取值。

1. 公式
   观察依据

   该截面标记为$\text{Area} = A(x)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者解释说，首先需找出一个公式，用以计算位于任意给定点处的特定截面的面积。

$A(x)$

固体截面的横截面积作为沿切割轴位置的函数。

以标记截面位置的坐标为自变量的函数；本片段中的图示示例使用$x$。

1. 公式
   观察依据

   显示的公式是$\int_a^b A(x)\,dx$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，体积可通过沿切片所在轴对面积函数进行积分来计算。

$\int_a^b A(x)\,dx$

通过对某一轴上横截面积进行积分所得的体积。

$x$在$[a,b]$范围内取值；$A(x)$表示位于位置$x$处的切片面积。

1. 公式
   观察依据

   紫色切片标记为$\int_c^d g(y)\,dy$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，对于横截面呈抛物线形状的立体，其面积可通过对方程描述该抛物线的函数进行积分来求得。

$\int_c^d g(y)\,dy$

一个抛物线形横截面的面积，作为关于$y$的单变量积分计算得出。

内层变量$y$在$[c,d]$范围内取值；$g$描述切片内部的抛物线。

1. 公式
   观察依据

   显示的公式变为$\text{Volume} = \int_a^b \int_c^d g(y)\,dy\,dx$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，此处使用横截面法求体积时，每个切片的面积公式本身就是一个积分，而本例中该积分是关于$y$的积分，因为切片平行于$y$轴。

$\int_a^b \int_c^d g(y)\,dy\,dx$

当每个切片的面积本身需通过积分计算时，用二重积分表达横截面法所求的体积。

外层变量$x$在$[a,b]$范围内取值；内层变量$y$在$[c,d]$范围内取值。

1. 公式
   观察依据

   显示的公式为：体积 = $\int_a^b \int_c^d g(x,y)$\,dy\,dx。

Volume

该累次积分所表示的立体的体积。

积分计算后得到的一个实数。

1. 公式
   观察依据

   第一个显示公式中的被积函数是 $g(x,y)$。

2. 声音
   观察依据

   解说词指出：改变 x 会改变为求得某一切片横截面积而必须积分的关于 y 的函数。

$g(x,y)$

一个二元高度函数，其内层关于 y 的积分给出固定 x 处切片的横截面积。

在图示立体中，该函数对变量 x 和 y 有定义。

1. 公式
   观察依据

   约从 34 秒开始，显示的公式变为 $\int_a^b \int_c^d f(x,y)$\,dy\,dx。

$f(x,y)$

在后续关于二重积分的可视化讲解中所使用的通用二元被积函数。

在图示曲面与立体中，该函数对变量 x 和 y 有定义。

1. 图示
   观察依据

   坐标平面标有 x 轴。

2. 声音
   观察依据

   解说词反复提及沿 x 方向扫掠以及外层关于 x 的积分限。

x

一个水平坐标变量；在所显示的累次积分中，它是外层积分变量。

讲解中给出的示例区间为 $x = -2$ 到 $x = 2$。

1. 图示
   观察依据

   坐标平面标有 y 轴。

2. 声音
   观察依据

   讲解中多次提到沿 y 方向扫掠以及内层 y 积分的上下限。

y

一个水平坐标变量；在所显示的累次积分中，它是内层积分变量。

讲解中给出的示例区间为 $y = -3$ 到 $y = 2$。

1. 公式
   观察依据

   外层积分写作 $\int_a^b$ ... dx。

2. 声音
   观察依据

   每个积分的上下限反映了在各自方向上扫掠运动的范围。

a,b

关于 x 的外层积分的下限与上限。

在本题示例中，它们分别对应 $x = -2$ 和 $x = 2$。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说道：“在单变量微积分中，你最早学到的关于积分的知识之一，就是它可以用来计算曲线下的面积。”

2. 图示
   观察依据

   一幅2D图像显示一条位于x轴上方的蓝色曲线，曲线与x轴之间从$a$到$b$的区域被阴影填充。

3. 公式
   观察依据

   阴影区域标注为$\int_a^b f(x)\,dx$。

视频将定积分$\int_a^b f(x)\,dx$介绍为标准的单变量方法，用于计算函数图像在$x=a$与$x=b$之间所围成的曲线下的面积。

1. 单变量情形。

2. 积分上下限为横轴上的$a$和$b$。

3. 其几何意义是函数$f(x)$图像下方的面积。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说道：“以非常类似的方式，二重积分可用于求曲面下方的三维体积。”

2. 图示
   观察依据

   一幅3D图像显示一个位于$xy$-平面上方矩形区域之上的紫色曲面，其下方是一个蓝色实心立体。

3. 公式
   观察依据

   该实心立体标注为$\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$。

该视频将二重积分$\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$介绍为单积分的双变量类比：单积分给出曲线下的面积，而二重积分则给出曲面下的三维体积。

1. 双变量函数$f(x,y)$。

2. 矩形积分区域，其中$x\in[a,b]$和$y\in[c,d]$。

3. 直观解释为曲面下的体积。

1. 单重积分作为曲线下的面积

1. 声音
   观察依据

   讲解者说道：‘我们通常通过依次进行两次积分来计算二重积分，这种构造称为累次积分，即对一个积分的结果再作一次积分。’

2. 公式
   观察依据

   所展示的记号将一个积分嵌套在另一个积分内部：$\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$。

视频将二重积分的常规计算方法定义为累次积分：先进行一次积分，再对所得结果再次积分。这一过程在口述中被描述为‘对一个积分再作积分’。

1. 适用于所展示的二重积分设定。

2. 所示顺序为内层积分$dy$和外层积分$dx$。

1. 二重积分作为曲面下的体积

1. 字幕依据
   观察依据

   标题卡片显示‘用截面法求体积’。

2. 声音
   观察依据

   讲解者解释道：若某立体沿某一坐标轴的所有截面都具有规则形状，则可通过先求出任意一个截面的面积公式，再沿该截面方向对该面积函数进行积分，从而计算出该立体的体积。

3. 图示
   观察依据

   一个红色立体图形沿$x$轴垂直切片；其中一片标记为$\text{Area} = A(x)$。

4. 公式
   观察依据

   最终显示的公式是$\int_a^b A(x)\,dx$。

视频回顾了用单积分计算体积的方法：沿某一坐标轴标记每一片的位置，将其面积写成一个函数（例如$A(x)$），再对该面积函数在所有切片位置构成的区间上进行积分。

1. 该立体图形由垂直于某一选定坐标轴的切片来描述。

2. 每一片的面积均可表示为切片坐标变量的函数。

3. 积分沿标记切片位置的坐标轴进行。

1. 单重积分作为曲线下的面积

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：‘但如果我给你一个横截面呈抛物线形状的立体图形呢？此时并不存在快速简便的公式来计算抛物线下方的面积，但我们仍然知道如何处理——只需对描述该抛物线的函数作积分即可。’

2. 图示
   观察依据

   展示了一个紫色立体图形，其中一片抛物线形横截面被高亮标出，记为$\int_c^d g(y)\,dy$。

3. 公式
   观察依据

   总体积被重写为$\text{Volume} = \int_a^b \int_c^d g(y)\,dy\,dx$。

视频通过说明如下情形引出二重积分：若横截面形状并非初等多边形或半圆形，则某一片的面积本身可能就需要通过积分来计算；将这个内层积分代入横截面面积公式后，便得到一个二重积分。

1. 该立体通过横截面法计算体积。

2. 切片面积无法用简单的闭式几何公式表示。

3. 在本例中，切片平行于$y$轴，因此内层积分关于$y$进行。

1. 用横截面法求体积
2. 累次积分构造

1. 公式
   观察依据

   体积 = $\int_a^b \int_c^d g(x,y)$\,dy\,dx 显示在 3D 立体图形上方。

2. 声音
   观察依据

   讲解者称这是该体积的嵌套二重积分表达式。

视频将嵌套二重积分呈现为立体体积的计算公式：内层积分计算任意一个截面的面积，外层积分则将这些截面沿方向扫掠以构成整个立体。

1. 所展示的设定采用内层关于 y 的积分和外层关于 x 的积分。

2. 讲解说明了截面形状依赖于 x 的情形。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，我们首先需要计算内层积分，以求得任意切片的正确面积公式。

2. 动画
   观察依据

   一个紫色切片沿x轴移动，而公式始终保留在屏幕上。

在所显示的积分次序 dy dx 中，内层积分负责求出在固定 x 值处切片的横截面积；x 的变化会导致被积的 y 函数随之改变。

1. 适用于所显示的累次积分中的内层积分。

2. 切片是在固定 x 的情况下沿 y 方向取得的。

1. 二重积分作为体积公式

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，我们需再取外层积分，使该切片扫掠出对应立体的体积。

2. 动画
   观察依据

   运动中的切片在曲面下方不断累积，形成更大的立体。

当内层积分得出切片面积后，外层积分便让该切片沿另一坐标轴移动，从而使所有切片共同切削出整个立体。

1. 所显示公式中外层变量是 x。

2. 内层积分已得出切片面积。

1. 内层积分给出切片面积

1. 公式
   观察依据

   显示的公式变为 $\int_a^b \int_c^d f(x,y)$\,dy\,dx。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，这是思考二重积分作用时应始终在脑海中保持的直观图示。

3. 动画
   观察依据

   一个蓝色切片沿某一坐标轴扫过，随后所得的板状体再沿另一坐标轴扫过。

视频从几何角度定义了二重积分的含义：内层积分沿某一坐标轴扫出该立体的一个任意切片，外层积分再将该切片沿另一坐标轴扫过，从而切削出整个立体。

1. 该解释针对所显示的积分次序 dy dx。

2. 该立体位于 xy 平面上的一个矩形底面之上。

1. 二重积分作为体积公式

1. 声音
   观察依据

   若内层积分是对 y 的积分，则沿 y 方向扫过；若内层积分是对 x 的积分，则沿 x 方向扫过。

内层积分中的微分符号指明首先沿哪个坐标方向扫掠：对 y 的积分沿 y 方向扫掠；对 x 的积分沿 x 方向扫掠。

1. 此规则适用于带有显式微分（如 dy dx 或 dx dy）的累次积分。

1. 二重积分的直观解释

1. 声音
   观察依据

   还需注意，每个积分的上下限反映了在对应方向上的扫掠范围。

2. 动画
   观察依据

   公式中的积分限被高亮显示，同时立体图形仍保留在屏幕上。

每一对积分限记录了对应扫描方向沿其坐标轴延伸的距离：内层积分限确定切片的延伸范围，外层积分限确定切片移动的范围。

1. 针对当前展示的具有独立内层与外层积分限的累次积分进行讨论。

1. 二重积分的直观解释

1. 声音
   观察依据

   若仅使用常数型积分限，则二重积分只能扫描出底面为xy平面上矩形区域的立体。

2. 动画
   观察依据

   底面以矩形形式呈现，并标注为 $y = -3$、$y = 2$、$x = -2$、$x = 2$。

当内层与外层积分限均为常数时，每个切片在内层变量方向上的延伸范围都相同，因此该立体在xy平面上的投影是一个矩形。视频将这类立体描述为具有弯曲顶部的类盒状形状。

1. 四个积分限 a、b、c、d 均为常数。

2. 因此，底面区域在xy平面上是矩形。

1. 积分限编码了扫描范围

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，计算二重积分的常规方法是依次进行两次积分，这种构造称为累次积分，即对一个积分再作积分。

2. 公式
   观察依据

   所展示的记号$\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$在视觉上将一个积分嵌套在另一个积分内部。

二重积分通过连续进行两次积分来计算，即作为累次积分。

1. 当前讨论的对象是视频中所示形式的二重积分。

对于所展示的设定$\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$，其计算过程是顺序进行的。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：‘综上，这就是横截面法求体积的简明总结，而我们仅需一个积分即可完成。’

2. 公式
   观察依据

   前述所展示的公式是$\int_a^b A(x)\,dx$。

如果横截面积函数已知，则体积可通过一个积分计算得出。

1. 该立体由沿某一坐标轴的切片描述。

2. 存在一个显式的面积函数，例如$A(x)$。

按照所介绍的横截面法，一旦$A(x)$已知，仅需一个积分即可。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，不存在快速粗略的公式来计算抛物线下方的面积，但我们仍可通过积分描述该抛物线的函数来求得该面积。

2. 公式
   观察依据

   该切片标记为$\int_c^d g(y)\,dy$。

对于形状为抛物线的切片，其面积通过对描述该抛物线的函数进行积分得到。

1. 切片边界由函数$g(y)$描述。

2. 该切片在$y\in[c,d]$范围内延伸。

对于所示的抛物线形切片示例，其切片面积为$\int_c^d g(y)\,dy$。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：‘本例中，积分将对 y 进行，因为我们的切片平行于 y 轴。’

2. 公式
   观察依据

   显示的表达式是$\text{Volume} = \int_a^b \int_c^d g(y)\,dy\,dx$。

3. 图示
   观察依据

   高亮显示的切片位于一个平行于$y$轴方向的平面内，该平面处于3D图像中。

在显示的例子中，内层积分是关于$y$的，因为切片平行于$y$轴。

1. 该立体被分解为若干切片。

2. 切片的方向平行于$y$轴。

对于所示的特定抛物线形切片构造，内层微分量为$dy$。

1. 声音
   观察依据

   这是因为截面的形状还取决于该截面沿 x 轴所处的位置。

2. 声音
   观察依据

   改变 x 的值，就会改变为求得该截面面积而需对 y 积分的函数。

对于所展示的立体，固定 x 处的截面形状依赖于 x 的取值，因此内层关于 y 的被积函数会随 x 的变化而变化。

1. 该立体由体积 = $\int_a^b \int_c^d g(x,y)$\,dy\,dx 表示。

2. 截面是在固定 x 处沿 y 方向截取的。

针对图中以 x 为索引的这一族截面。

1. 声音
   观察依据

   仅使用常数积分限时，二重积分只能扫出底面为xy平面上矩形区域的立体。

2. 声音
   观察依据

   这类立体形如一个顶部呈曲面的盒子。

若二重积分仅使用常数积分限，则所扫出的立体在xy平面上的底面为矩形。

1. 该积分为具有常数积分限的累次二重积分。

2. 该立体由所述扫掠过程生成。

针对本视频中展示的、由常数积分限累次积分所产生的立体类别。

1. 声音
   观察依据

   我们首先需要找到一个公式，用以计算该立体沿某轴的任意截面的面积。

2. 声音
   观察依据

   这项任务由内层积分完成。

当通过截面法建立二重积分时，首要任务是找出任意截面面积的表达式，而这一任务由内层积分承担。

1. 该立体的底面可以是非矩形的。

2. 该设定遵循视频中介绍的“按截面求体积”方法。

适用于本片段末尾所介绍的一般设定步骤。

1. 声音
   观察依据

   在00:00–00:11处，主讲人指出：该区域沿 y 方向切片看起来最简便，因为两条边界曲线自然地表现为“地板”与“天花板”，而非左右两侧的“墙壁”。

2. 图示
   观察依据

   阴影区域上方由一条红色曲线界定，下方由一条绿色直线界定。

对于图中所示区域，沿 y 方向切片被呈现为更简便的选择，因为两条边界曲线自然地充当每一竖直切片的下界与上界。

1. 该区域由两条曲线所围成。

2. 其中一条曲线在整个相关 x 区间内位于另一条曲线之上。

针对本例中所示的区域。

1. 声音
   观察依据

   在00:18–00:23处，主讲人指出：积分的上下限将取决于我们正在观察的是哪一薄片。

2. 声音
   观察依据

   在00:46–00:57处，主讲人指出：内层积分的上下限本身将是外层变量（此处为 x）的函数，因为每一片的宽度依赖于其所处的 x 位置。

3. 图示
   观察依据

   不同高亮显示的切片，其底端与顶端对应的 y 值各不相同。

当每个切片在竖直方向上的范围随 x 变化时，内层积分的下限和上限必须写成关于 x 的函数，而不能是常数。

1. 积分顺序为 dy dx。

2. 切片的宽度依赖于 x。

对于区域中每一个切片位置 x。

1. 声音
   观察依据

   在00:12-00:17处，说话人说：“为了计算其中一片切片的面积，我们使用一个单积分，即内层积分。”

2. 公式
   观察依据

   在01:53-02:00处，代入后的内层积分被框出，并标注为“第 x 片切片的面积”。

在所展示的设定中，具有关于 y 的变限的内层积分，给出了位于给定 x 位置处的立体切片的面积。

1. 内层积分是对 y 进行的。

2. 这些限值是该 x 处切片的下、上 y 值。

对于外层积分限内的任意一个固定 x。

1. 声音
   观察依据

   在02:00-02:17处，主讲人指出：外层积分的上下限应分别取该区域最左侧的x坐标和最右侧的x坐标。

2. 公式
   观察依据

   标签 $x = a$ 和 $x = b$ 被替换为 $x = -2$ 和 $x = 2$。

本例中，外层积分的上下限直接由阴影区域的最小与最大x值确定。

1. 外层积分变量是x。

2. 该区域具有明确可辨的最左侧与最右侧x位置。

针对图中所示的整个区域。

1. 声音
   观察依据

   在02:33-02:38处，主讲人说：“这个二重积分计算的是我们最初所讨论的立体图形的体积。”

2. 公式
   观察依据

   最终显示的积分为：体积 = $\int_{-2}^{2} \int_{-1/2 x - 1}^{-1/2 x^2 - 1/2 x + 1} g(x,y)$\,dy\,dx。

1. 视频未明确定义 $g(x,y)$ 为高度函数，但其视觉语境将该积分呈现为体积计算。

在代入明确的内层与外层积分限后，所显示的二重积分即计算原立体图形的体积。

1. 积分限正确地从该区域中读取。

2. 被积函数 $g(x,y)$ 是用于计算体积的积分函数。

针对动画中所示的立体。

1. 声音
   观察依据

   讲解者首先通过截面法解释体积概念，然后提出为何需要二重积分，接着给出抛物线形切片的例子，并将截面面积积分代入外层体积积分中。

2. 公式
   观察依据

   显示的公式序列为$\int_a^b A(x)\,dx$，然后是$\int_c^d g(y)\,dy$，最后是$\text{Volume} = \int_a^b \int_c^d g(y)\,dy\,dx$。

3. 图示
   观察依据

   画面依次呈现：一般 sliced 立体、高亮的抛物线形切片、以及合并后的嵌套积分。

1. 公式

   $$V = \int_a^b A(x)\,dx$$
   解释

   从截面法开始：沿切片方向对截面面积函数进行积分。

   步骤依据

   这是通过截面计算体积的公式，以显式形式展示并用语言加以解释。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A(x) = \int_c^d g(y)\,dy$$
   解释

   在抛物线切片示例中，单个切片的面积本身需通过对描述该抛物线的函数积分来计算。

   步骤依据

   讲解者指出，抛物线下方的面积没有现成的快捷公式，因此需对描述该抛物线的函数取积分；该切片即以这一积分标记。

   视频直接表达
3. 公式

   $$V = \int_a^b \int_c^d g(y)\,dy\,dx$$
   解释

   将切片面积的积分代入外层的体积积分中，从而得到一个嵌套的二重积分。

   步骤依据

   视频直观地将$A(x)$替换为$\int_c^d g(y)\,dy$，并展示合并后的公式。

   视频直接表达

当截面面积本身必须通过积分来计算时，二重积分便自然产生。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，改变 x 会导致被积的 y 函数发生变化，随后说明最终会得到一个表示体积的嵌套二重积分表达式。

2. 公式
   观察依据

   在整个推导过程中，始终显示体积公式：$\text{Volume} = \int_a^b \int_c^d g(x,y)$\,dy\,dx。

3. 动画
   观察依据

   一个截面沿 x 方向移动，同时在曲面下方构建立体。

1. 公式

   $$\int_c^d g(x,y)\,dy$$
   解释

   对固定的 x，在 y 方向上积分，以得到对应截面的面积。

   步骤依据

   讲解指出，内层积分给出了任意截面的正确面积公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\int_a^b \left(\int_c^d g(x,y)\,dy\right) dx$$
   解释

   再将该截面面积表达式对 x 积分，使截面扫过整个立体。

   步骤依据

   讲解指出，外层积分使截面扫出对应的体积。

   视频直接表达

体积由嵌套积分 $\text{Volume} = \int_a^b \int_c^d g(x,y)$\,dy\,dx 表示。

1. 声音
   观察依据

   讲解者给出内层 y 积分的示例积分限为 $y = -3$ 到 $y = 2$，外层 x 积分的示例积分限为 $x = -2$ 到 $x = 2$。

2. 图示
   观察依据

   俯视图在矩形上标注了 $y=2$、$y=-3$、$x=-2$ 和 $x=2$。

3. 动画
   观察依据

   矩形内部展示了一个竖直切片，随后该矩形被抬升回 3D 空间。

1. 公式

   $$y=-3 \text{ to } y=2$$
   解释

   内层关于 y 的积分，将切片从矩形的下侧水平边界扫至其上侧水平边界。

   步骤依据

   讲解明确指出：任一给定的 y 方向切片，均应从 $y=-3$ 开始、扫至 $y=2$ 结束。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x=-2 \text{ to } x=2$$
   解释

   外层关于 x 的积分，则将该切片从左侧竖直边界移至右侧竖直边界。

   步骤依据

   讲解明确指出：该切片应在 x 方向上从 $x=-2$ 开始、扫至 $x=+2$ 结束。

   视频直接表达

对于所展示的矩形示例，内层积分限为 $y\in [-3,2]$，外层积分限为 $x\in [-2,2]$。

1. 声音
   观察依据

   讲解顺序依次为：选择切片方向、确定内层积分限、确定外层积分限，最后指出该二重积分计算的是体积。

2. 公式
   观察依据

   公式从 $\int_a^b \int_c^d g(x,y) dy dx$ 演变为 $\int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} g(x,y) dy dx$，再演变为 $\int_{-2}^{2} \int_{-1/2 x - 1}^{-1/2 x^2 - 1/2 x + 1} g(x,y) dy dx$。

1. 公式

   $$Volume = \int_a^b \int_c^d g(x,y)\,dy\,dx$$
   解释

   从一个以 x 为外变量、y 为内变量的体积通用累次积分出发。

   步骤依据

   这是屏幕上最初显示的公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Choose slicing along } y$$
   解释

   选择 y 方向作为内层切片方向，因为边界曲线起到类似底面和顶面的作用。

   步骤依据

   音频中于00:00–00:11处陈述。

   视频直接表达
3. 公式

   $$c, d \to c(x), d(x)$$
   解释

   将内层积分的常数限替换为关于 x 的函数，因为不同切片在竖直方向上的范围各不相同。

   步骤依据

   音频中于00:18–00:57处陈述，并通过更改切片标签加以展示。

   视频直接表达
4. 公式

   $$c(x) = -\frac{1}{2}x - 1, \quad d(x) = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 1$$
   解释

   根据给定的直线与抛物线方程，将上下边界曲线读作关于 x 的函数。

   步骤依据

   在音频中明确给出，并在01:34-01:48处以公式呈现。

   视频直接表达
5. 公式

   $$Volume = \int_a^b \int_{-\frac{1}{2}x - 1}^{-\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 1} g(x,y)\,dy\,dx$$
   解释

   将边界曲线方程代入内层积分限，得到外层积分中第 x 个薄片的面积。

   步骤依据

   在01:50-02:00处屏幕显示，并在音频中加以说明。

   视频直接表达
6. 公式

   $$a = -2, \quad b = 2$$
   解释

   以外部区域最左侧与最右侧的 x 值作为外层积分限。

   步骤依据

   在音频中于02:00-02:27处陈述，并通过标注 $x = -2$ 和 $x = 2$ 展示。

   视频直接表达
7. 公式

   $$Volume = \int_{-2}^{2} \int_{-\frac{1}{2}x - 1}^{-\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 1} g(x,y)\,dy\,dx$$
   解释

   代入外层积分限，从而得到该立体体积的完全显式累次积分表达式。

   步骤依据

   作为最终公式展示，并在音频中于02:33-02:38处予以确认。

   视频直接表达

本视频通过先由边界曲线确定可变的内层积分限，再由区域在 x 方向上的极值确定固定的外层积分限，推导出体积的显式二重积分。

1. 声音
   观察依据

   讲解者提问：‘但如果我给你一个切片呈抛物线形状的立体呢？’随后解释道，该切片的面积可通过积分描述该抛物线的函数来求得。

2. 图示
   观察依据

   画面显示一个紫色立体，其中一块高亮的抛物线形切片标记为$\int_c^d g(y)\,dy$。

3. 公式
   观察依据

   最终展示的公式是$\text{Volume} = \int_a^b \int_c^d g(y)\,dy\,dx$。

计算一个立体的体积，其平行于$y$轴的切片呈抛物线形状。

1. 该立体沿$x$方向被分解为若干切片。

2. 每个切片由函数$g(y)$所围成。

3. 内层变量的取值范围是$c\le y\le d$。

4. 外层切片坐标从$a$变化到$b$。

将体积表示为一个累次积分。

1. 公式

   $$V = \int_a^b A(x)\,dx$$
   解释

   使用一般横截面法求体积的公式。

   步骤依据

   视频刚刚回顾了该方法，并展示了该公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A(x) = \int_c^d g(y)\,dy$$
   解释

   用抛物线边界函数的积分来替代未知的切片面积公式。

   步骤依据

   讲解者指出，抛物线下方的面积可通过对其描述函数积分得到，且该切片被标上了这一表达式。

   视频直接表达
3. 公式

   $$V = \int_a^b \int_c^d g(y)\,dy\,dx$$
   解释

   将外层积分与内层积分合并为一个二重积分。

   步骤依据

   这是该片段中最终显示的公式。

   视频直接表达

对应的式子为：$\displaystyle V=\int_a^b\int_c^d g(y)\,dy\,dx$

该答案与屏幕上显示的公式一致，也与讲解者的解释一致：内层积分关于$y$进行，因为切片平行于$y$轴。

1. 图示
   观察依据

   xy 平面上的一个俯视矩形被标注为 $y=2$、$y=-3$、$x=-2$、$x=2$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者依次梳理了该示例中内层 y 积分限与外层 x 积分限。

3. 动画
   观察依据

   这个 2D 矩形被还原为具有波浪形顶部的 3D 立体图形。

解释三重积分 $\int_a^b \int_c^d f(x,y)$\,dy\,dx 的积分限，该积分描述一个底面为 xy 平面上所示矩形的立体。

1. 图中显示的积分次序是先对 y 积分、再对 x 积分。

2. 该矩形在 y 方向由直线 $y=-3$ 和 $y=2$ 所围成。

3. 该矩形在 x 方向由直线 $x=-2$ 和 $x=2$ 所围成。

区分哪些积分限属于内层积分，哪些属于外层积分。

1. 公式

   $$\int_{-3}^{2} f(x,y)\,dy$$
   解释

   由于内层积分是对 y 进行的，其积分限来源于矩形的水平边界（即上下两条边）。

   步骤依据

   讲解指出：内层关于 y 的积分表示应沿 y 轴扫掠哪一段来生成一个截面。

   依据视频推导
2. 公式

   $$\int_{-2}^{2} \left(\int_{-3}^{2} f(x,y)\,dy\right) dx$$
   解释

   外层积分是对 x 进行的，因此其积分限来源于矩形的竖直边界（即左右两条边）。

   步骤依据

   讲解指出：外层关于 x 的积分表示该截面沿 x 轴扫掠的范围。

   依据视频推导

内层积分限：y 从 -3 到 2；外层积分限：x 从 -2 到 2。

俯视图明确标出了矩形的四条边界：$y=2$、$y=-3$、$x=-2$ 和 $x=2$，与所陈述的积分限一致。

1. 声音
   观察依据

   例如，考虑这个立体：它在 xy 平面上的底面是由底部的一条线段和顶部的一条抛物线所围成的区域。

2. 动画
   观察依据

   视角切换为一个立体图形，其底面是介于一条直线形下边界与一条抛物线形上边界之间的曲边区域。

3. 声音
   观察依据

   我们如何在此处建立二重积分？请再次回想一下用截面法求体积的思路。

1. 视频片段在实际积分限或最终积分表达式写出之前就结束了。

为一个底面由一条线段（下界）和一条抛物线（上界）所围成的立体图形建立二重积分。

1. 该底面不是矩形。

2. 下边界是一条线段。

3. 上边界是一条抛物线。

4. 应采用截面法求体积。

从明确内层积分的作用开始进行建模。

1. 公式

   $$\text{Find the area of an arbitrary slice.}$$
   解释

   回到截面法：首先确定沿某轴作截得的切片面积的表达式。

   步骤依据

   旁白明确指出，我们首先要找到一个公式，用于计算该立体图形任意一处切片的面积。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Use the inner integral for that area formula.}$$
   解释

   该切片面积的计算由内层积分承担。

   步骤依据

   解说词指出，这是内层积分的任务。

   视频直接表达

该片段介绍了构建积分的策略，但在给定时长内未完成显式的积分表达式。

片段中最后一句口述内容是：求切片面积公式是内层积分的任务；且在片段结束前未展示任何已完成的带上下限的表达式。

1. 图示
   观察依据

   xy 平面上有一块紫色阴影区域，其下方边界为一条绿色直线，上方边界为一条开口向下的红色抛物线。

2. 公式
   观察依据

   该片段给出了方程 $y = -1/2 x - 1$ 与 $y = -1/2 x^2 - 1/2 x + 1$，随后又给出外层积分限 $x = -2$ 与 $x = 2$。

3. 声音
   观察依据

   讲解用此区域说明如何建立体积的二重积分表达式。

1. 交点 $x = -2$ 和 $x = 2$ 的精确代数推导过程未展示；其数值直接给出。

已知一个立体，其在 xy 平面上的底面区域下方由 $y = -\frac{1}{2}x - 1$ 界定，上方由 $y = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 1$ 界定，请写出计算该立体体积的二重积分表达式。

1. 下边界曲线：$y = -\frac{1}{2}x - 1$。

2. 上边界曲线：$y = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}{x} + 1$。

3. 该区域最左侧的 x 值：$x = -2$。

4. 该区域最右侧的 x 值：$x = 2$。

5. 被积函数以符号形式表示为 $g(x,y)$。

写出沿 y 方向切片计算体积的累次二重积分。

1. 公式

   $$\text{Slice along } y$$
   解释

   选择竖直切片，因为两条曲线自然地为每个 x 给出了 y 的下界和上界。

   步骤依据

   音频中于 00:00–00:11 处提及。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\int_{c(x)}^{d(x)} g(x,y)\,dy$$
   解释

   使用关于 y 的内层积分来计算固定 x 处单一切片的面积。

   步骤依据

   在音频00:12-00:17处陈述，并通过‘第x片的面积’这一标签加以强调。

   视频直接表达
3. 公式

   $$c(x) = -\frac{1}{2}x - 1$$
   解释

   将下方曲线作为内层积分的下界。

   步骤依据

   在01:34-01:41处明确给出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$d(x) = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 1$$
   解释

   将上方曲线作为内层积分的上界。

   步骤依据

   在01:42-01:48处明确给出。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\int_{-2}^{2}$$
   解释

   使用该区域最左与最右的x值作为外层积分的上下界。

   步骤依据

   在02:19-02:27处明确给出。

   视频直接表达
6. 公式

   $$Volume = \int_{-2}^{2} \int_{-\frac{1}{2}x - 1}^{-\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 1} g(x,y)\,dy\,dx$$
   解释

   将内层积分界与外层积分界组合，得到最终的累次积分。

   步骤依据

   以最终公式形式呈现，并在02:33-02:38处说明该公式用于计算体积。

   视频直接表达

体积 = $\int_{-2}^{2} \int_{-\frac{1}{2}x - 1}^{-\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 1} g(x,y)$\,dy\,dx

该结果与屏幕上最终显示的公式一致，也与讲解者所述‘该二重积分计算原立体的体积’相吻合。

1. 图示
   观察依据

   一个2D坐标系出现，其刻度标记标注为$a$和$b$；一条蓝色曲线绘制在x轴上方，曲线下方的区域被涂成蓝色。

2. 公式
   观察依据

   被涂色的区域标注为$\int_a^b f(x)\,dx$。

1. 笛卡尔坐标轴

2. 蓝色曲线

3. 曲线与x轴之间的涂色区域

4. 标注$a$、$b$

5. 公式$\int_a^b f(x)\,dx$

1. 坐标轴最先出现。

2. 添加刻度标记$a$和$b$。

3. 绘制曲线。

4. 曲线下方的区域逐渐填满颜色。

5. 积分符号出现。

1. 设置保持为二维。

2. 横轴表示积分变量$x$。

动画通过曲线从$a$到$b$下方的面积，直观标识出一个定积分。

1. 图示
   观察依据

   一个3D图像显示：在$xy$平面上的矩形网格上方有一个紫色曲面；曲面下方形成一个蓝色实心立体。

2. 公式
   观察依据

   该实心立体标记为$\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$。

1. 3D坐标轴分别标记为$x$和$y$

2. 紫色曲面

3. 矩形底面区域

4. 蓝色实心立体

5. 公式$\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$

1. 场景从2D切换到3D。

2. 在矩形定义域上方引入一个曲面。

3. 曲面下方出现一个蓝色体积。

4. 二重积分公式叠加在该立体图形上。

1. 底面仍为$xy$平面上的一个矩形。

2. 该体积的上方边界是曲面，下方边界是底面区域。

动画将二重积分呈现为曲线下的面积在三维情形中的类比：即曲面下的体积。

1. 图示
   观察依据

   屏幕垂直分割，左侧显示2D面积示例，右侧显示3D体积示例。

2. 公式
   观察依据

   左侧显示$\int_a^b f(x)\,dx$；右侧显示$\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$。

3. 动画
   观察依据

   方框高亮显示右侧二重积分公式中的各部分。