多元函数 | 多元微积分 | 可汗学院

1. 公式
   观察依据

   黑板上用黄色标出$f(x)=x^2$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，普通微积分中的函数只有一个输入，输出一个数，称其为单变量函数。

$f(x)$

一个单变量函数，其唯一输入变量为$x$；在所展示的例子中，它由$f(x)=x^2$定义。

$x$被视为一个单独的数；未明确说明其定义域或陪域。

1. 公式
   观察依据

   变量$x$出现在$f(x)=x^2$内部。

2. 声音
   观察依据

   主讲人提到普通微积分例子中的那个单变量。

$x$

普通单变量函数例子中的唯一输入变量。

数轴上的一个数；未给出具体的数值范围。

1. 公式
   观察依据

   黑板上用紫色标出$f(x,y)=x^2+y$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说，多变量函数可处理多个变量，并可能根据两个输入共同决定输出一个数，以$x^2+y$为例。

$f(x,y)$

一个多变量函数，其两个输入变量为$x$和$y$；在所展示的标量输出例子中，它由$f(x,y)=x^2+y$定义。

$(x,y)$被视为一对数，后被描述为$xy$平面上的一个点；未明确说明其定义域或陪域。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写下$f(x,y)$，随后分别画出标有$x$和$y$的数轴，再画出一个带有点的$xy$-平面。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，常用记号使用$x,y$，但也可使用$x,y,z$或$x_1,x_2,x_3$；并强调，这样两个量更宜被视作$xy$-平面上的一个点。

$x,y$

一个多变量函数的两个输入变量；它们可被单独视为数字，也可被合起来视为$xy$-平面上某一点的坐标。

每个都是一个数；合起来构成平面上的一个点。未给出明确的取值范围。

1. 公式
   观察依据

   黑板上用紫色显示$f(x,y)=\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，多变量函数的输出也可以是一个向量，并举了一个自构的例子，其分量分别为$3x$和$2y$。

$f(x,y)=\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$

一个向量值多变量函数，接受两个输入变量，返回一个列向量，其分量依赖于$x$和$y$。

输入$(x,y)$是一对数；输出是一个含两个分量的向量。未指明具体的环境空间。

1. 公式
   观察依据

   输出以竖直形式写作$\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，当多个数作为输出时，惯例是将它们视为一个向量。

$\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$

一种用于表示函数多个输出数的列向量。

一个含两个分量的向量，第一分量为$3x$，第二分量为$2y$。

1. 图示
   观察依据

   画出两条水平数轴，一条标为$x$，另一条标为$y$；随后将它们替换为互相垂直的坐标轴，构成一个$xy$-平面，并在该平面上标出一个点。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出：不应将$x$和$y$视为彼此分离的对象，而应将其理解为$xy$-平面上的一个点；因此，函数将一个点映射为一个数，或将一个点映射为一个向量。

$(x,y)$ as a point

将一对输入值作为有序数对，从几何角度理解为$xy$-平面上的一个点，而非两个彼此独立的数轴对象。

平面以定性方式呈现；所标出的点未赋予任何坐标数值。

1. 公式
   观察依据

   手写公式显示为 $f(x,y) = x^2$。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出该函数具有二维输入，记作 $f(x, y)$。

$f(x,y)$

一个标量值的多变量函数，其输入为二维的 (x, y)。

输入空间是二维的；输出是一个单独的数。

1. 声音
   观察依据

   说话人称输入位于这个 xy 平面上，并随后说明我们所观察的正是 xy 平面，即全部的输入空间。

2. 图示
   观察依据

   一个灰色水平平面配以黄色坐标轴，置于 3D 图形下方。

xy plane

用于通过高度图或等高线图可视化函数的二维输入空间。

具有二维输入的函数的输入空间。

1. 声音
   观察依据

   说话人指出其输出是一个单独的数，而图形的高度将对应于该输出值。

2. 动画
   观察依据

   一条垂直轴从 xy 平面竖直向上延伸，同时一块青绿色方格状曲面位于其上方。

height of the graph

表示标量函数 $f(x,y)$ 输出值的垂直坐标。

适用于输入为二维的标量值函数。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，这些被称为等高线的线条表示所有具有相同输出值的输入点。

2. 图示
   观察依据

   在彩色编码的2D场中可见同心闭合曲线。

contour lines

输入平面上连接函数输出值相同的各点的曲线。

二元标量值函数的等高线图。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，这些被称为参数曲面。

2. 动画
   观察依据

   一张扁平的棋盘格薄片在3D空间中先弯曲成圆柱体，再进一步弯曲成环面。

parametric surfaces

将二维输入映射到三维空间后，观察其输出形状所得到的曲面。

从二维到三维的映射。

1. 声音
   观察依据

   主讲人欢迎观众进入多变量微积分的学习，并指出首先要厘清的是“多变量”一词的含义。

2. 图示
   观察依据

   左上角可见标题“多变量微积分”。

本片段将多变量微积分确立为所学分支，并立即围绕核心预备问题——“多变量”的含义——展开阐述，尚未进行任何微积分运算。

1. 这是一个引导性的框架陈述，而非严格的数学定义。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出：普通微积分中的函数仅有一个输入，即某种数值，且仅输出一个数值，这类函数称为单变量函数。

2. 公式
   观察依据

   例题$f(x)=x^2$写在黑板上。

单变量函数呈现为熟悉的微积分情形：它接受一个数值输入，并返回一个数值输出。示例$f(x)=x^2$体现了这一模式。

1. 一个输入变量。

2. 在所展示的示例中，输出是一个单独的数。

1. $f(x)$
2. $x$

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，多变量函数处理多个变量，通常以类似$x,y$的形式书写输入，并且其输出可能同时依赖于这两个变量。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示$f(x,y)=x^2+y$。

此处将多变量函数定义为能同时处理多个变量的函数。示例$f(x,y)=x^2+y$展示了一个具有两个输入的函数，其输出依赖于这两个输入。

1. 不止一个输入变量。

2. 在该示例中，有两个输入$x$和$y$。

3. 输出依赖于输入。

1. $f(x,y)$
2. $x,y$

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，该函数的输出也可能是向量；随后说明惯例：若输出包含多个数，则将其视为向量；若输入包含多个数，则将它们横向书写，并视其为空间中的一个点。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示$f(x,y)=\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$。

本片段区分了两种记号约定：多个输出数值通常表示为一个向量，而多个输入数值则常水平书写，并被理解为空间中的一个点。

1. 当函数具有多个输出数值或多个输入数值时适用。

2. 主讲人明确指出，这一约定并非一成不变。

1. $f(x,y)=\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$
2. $\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$
3. $x,y$

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，尽管$x$和$y$可被视作数轴上的两个独立数值，但更准确的说法应是‘多维微积分’，因为人们应当考虑$xy$-平面及其中的一个点。

2. 图示
   观察依据

   先分别画出代表$x$和$y$的独立数轴，随后擦除，代之以相互垂直的坐标轴，并在平面上标出一个点。

二元函数的输入对被赋予几何解释：它不再被看作两个孤立的数值，而是将$(x,y)$视为$xy$-平面上的一个单独的点。这促使我们将该函数描述为‘从一个点映射到一个数值’或‘从一个点映射到一个向量’。

1. 针对二元函数展开讨论。

2. 平面以定性方式引入，未对所绘点赋予具体坐标。

1. $(x,y)$ as a point
2. 多变量函数

1. 声音
   观察依据

   主讲人说，当处理多元函数时，图像会变成三维的，但这类图像仅真正适用于具有二维输入且输出为单个数值的函数。

2. 动画
   观察依据

   一个青绿色方格状碗形曲面显示在灰色xy平面之上，并带有一条垂直轴。

对于具有二维输入且输出为单个数值的函数，其图像是三维的：输入点位于xy平面内，而输出值则由该平面上方的高度表示。

1. 该函数具有二维输入。

2. 该函数具有单个数值的输出。

1. xy plane
2. height of the graph

1. 声音
   观察依据

   主讲人说，这些函数也可以仅用二维方式可视化，即把图像展平，此时我们呈现整个输入空间，并为每个点赋予一种颜色。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说，颜色大致表示该输出值的大小，而图中这些称为等高线的线条则标示出所有具有相同恒定输出值的输入点。

3. 公式
   观察依据

   手写示例为 $f(x,y) = x^2$。

4. 图示
   观察依据

   一幅带有同心曲线的2D彩色图被展示出来。

标量多变量函数可被展平为整个输入空间的二维图像：颜色编码近似的输出大小，而等高线则标记出具有相同输出值的输入集合。

1. 该函数是标量值函数。

2. 输入空间是二维的。

1. 标量型多元函数的三维图像
2. contour lines

1. 声音
   观察依据

   讲解者说，三维空间中的曲面看起来像函数图像，但实际上它们处理的是另一种截然不同的对象——你可以将其理解为将两个维度映射……并进入三维空间。

2. 声音
   观察依据

   讲解者称这些为参数曲面。

3. 动画
   观察依据

   一张平整的棋盘格薄片被弯曲成圆柱体，再进一步弯曲成环面。

参数曲面是通过将二维输入映射到三维空间而生成的；其关注点在于输出曲面的形状，而非每个点具体如何到达那里。

1. 该映射接收二维输入。

2. 输出被视作三维空间中的一个曲面。

1. 标量型多元函数的三维图像
2. parametric surfaces

1. 声音
   观察依据

   讲解者说另一个有趣的例子是向量场，其中每个输入点都对应某个向量，该向量即为函数在该点的输出。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说这将是一个具有二维输入、同时输出也是二维的函数，因为这些向量本身都是二维向量。

3. 图示
   观察依据

   黄色箭头布满整个2D网格。

4. 动画
   观察依据

   微小液滴沿着箭头所指示的方向运动。

向量场为每个输入点分配一个向量。在所示示例中，该函数具有二维输入和二维输出，箭头表示分配给每个点的向量。

1. 每个输入点都被分配一个向量。

2. 在所展示的示例中，输入与输出均为二维。

1. vector field

1. 声音
   观察依据

   讲解者说，我历来最喜爱的多元函数理解方式之一，就是取输入空间……并观察各点如何移动到其对应的输出位置。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说这将是一个同样输出二维结果的函数，我只需观察每一个点移动到它本应到达的位置。

3. 动画
   观察依据

   规则网格变形为倾斜网格。

理解多变量函数的另一种方式是将其视为一种变换：从输入空间出发，追踪每个点在输出空间中的移动位置。视频使用了一个2维到2维的例子，并展示了网格发生扭曲的过程。

1. 该函数将点从输入空间映射到输出空间。

2. 所展示的例子是从二维输入到二维输出。

1. function as transformation

1. 图示
   观察依据

   屏幕上显示一个笛卡尔坐标系，x轴范围从-7到6，y轴范围从-3到3。网格上绘制了多条直线，构成一组相交的对角线图案。

图示展示了多元函数的等高线（或等值线）。这些是定义域中满足函数取值为常数的点集$(x,y)$，即函数值恒定的点集$c$，也就是$f(x,y) = c$。对于线性函数，这些等高线是直线。

1. 该函数定义在一个2维定义域上。

2. 等值线对应于函数的恒定取值。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，称其为‘多维微积分’可能更为准确，因为人们不再将$x$和$y$视作彼此分离的实体，而是考虑$xy$-平面及其中的一个点。

2. 图示
   观察依据

   从两条数轴到$xy$-平面的视觉转换支持这一说法。

1. 这是主讲人关于术语的解释性主张，而非形式上已证明的定理。

对于多个变量的函数，从概念上讲，采用多维微积分的思路更为准确，因为输入是平面上或空间中的点，而非彼此独立的一维实体。

1. 该函数具有多个输入变量。

2. 这些输入被作几何意义上的解释。

关于多元函数应如何概念化的一种非正式的普遍主张。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“这并非一成不变，但惯例通常是：若输出由多个数构成，则将其视为一个向量；若输入由多个数构成，则通常将它们横向书写（如此处所示），并将其视为空间中的一个点。”

1. 主讲人明确指出这是一种惯例，而非必须遵守的规则。

依据常见惯例，多个输出数被视为一个向量，而多个输入数则横向书写，并被视为空间中的一个点。

1. 该函数具有多个输出数或多个输入数。

一项通用惯例陈述，且明确说明其并非绝对成立。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，这些方法仅真正适用于具有某种二维输入……且输出为单个数值的函数。

三维图像可视化适用于具有二维输入且输出为单个数值的函数。

1. 该函数具有二维输入。

2. 该函数具有标量输出。

针对视频中所描述的这类函数。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，此处所称的等高线表示所有具有相同恒定输出值的输入。

等高线连接具有相同输出值的输入点。

1. 该图像是一个标量值函数的等高线图。

对于位于同一条等高线上的点。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说，三维空间中的曲面……看起来像函数图像，但实际上它们对应的是另一种完全不同的对象，你可以将其理解为将二维……映射到三维。

参数化曲面在视觉上类似于函数图像，但其对应的映射是从二维到三维，而非平面上的标量高度。

1. 该对象被描述为由二维输入生成的三维空间中的曲面。

针对本节所讨论的曲面。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说，每个输入点都关联着某种向量，该向量即为函数在该点的输出。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说，这将是一个具有二维输入和二维输出的函数，因为这些向量均为二维向量。

在向量场中，每个输入点处的输出是一个向量；在所示示例中，该函数具有二维输入和二维输出。

1. 该对象是一个向量场。

2. 所展示的例子使用的是平面内的向量。

对于该场中的每一个输入点。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，将函数理解为变换，将是贯通这两部分内容的极佳方式。

将多变量函数视作变换，可在多变量微积分与线性代数之间建立联系。

1. 该函数被解释为将输入点移动至输出点。

针对视频中所讨论的基于变换的解释。

1. 动画
   观察依据

   首先画出两条水平数轴，一条标为$x$，另一条标为$y$；随后擦去这两条数轴，代之以相互垂直的坐标轴，构成一个含有一点的$xy$-平面。

2. 声音
   观察依据

   说话者从说$x$和$y$可以是两个独立的数，转变为强调应将它们视为$xy$-平面上的一个点。

1. 公式

   $$x \text{ 且 } y \text{ as separate numbers}$$
   解释

   说话者最初允许一种朴素观点：两个输入是彼此独立的量，各自位于自己的数轴上。

   步骤依据

   音频中直接陈述，并通过两条彼此分离的水平线图示呈现。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(x,y) \text{ as a point in the } xy\text{-plane}$$
   解释

   随后图示将两条直线替换为相互垂直的坐标轴及一个标出的点，表明这一数对更宜理解为平面上的一个位置。

   步骤依据

   黑板上的视觉变换，加上说话者解释应将$xy$-平面及一个点作为思考对象。

   视频直接表达
3. 公式

   $$f:\text{point}\to\text{number} \quad \text{or} \quad f:\text{point}\to\text{vector}$$
   解释

   重新解释之后，该函数被描述为将一个点映射为一个数，或一个点映射为一个向量。

   步骤依据

   在平面图示出现后，说话者明确作出此陈述。

   视频直接表达

二元输入的几何意义是$xy$-平面上的一个点，因此多元函数自然可视为将点映射为数或向量。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，你可以想象一种流体在流动，比如这里有一群水滴，它们沿着这些箭头方向流动。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，这实际上有助于深入理解其背后所对应的函数。

3. 动画
   观察依据

   微小液滴穿过箭头构成的向量场。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从一个向量场开始，其中每个输入点都附有一个向量。

   步骤依据

   由说话者直接陈述，并在平面上以箭头形式展示。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   想象在该向量场中放置若干液滴，并让它们沿着局部向量的方向运动。

   步骤依据

   说话者明确建议想象一种流体在流动，动画则展示了液滴随箭头方向运动。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   观察由此产生的运动模式，从而获得关于底层函数的直观理解。

   步骤依据

   说话者指出，这种流动图景能帮助我们理解底层函数。

   视频直接表达

液滴流动图景是一种直观方式，用于从向量场中读取定性信息。

1. 声音
   观察依据

   说话者说：取输入空间……并观察各点运动到其输出位置的过程。

2. 声音
   观察依据

   说话者说：我将逐一观察每一个点运动到它本应到达的位置。

3. 动画
   观察依据

   规则网格变为倾斜网格。

1. 公式

   $$$$
   解释

   首先将输入空间画成规则的坐标网格。

   步骤依据

   动画首先展示一个未变形的笛卡尔坐标网格。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   通过将每个输入点映射到其对应的输出点来应用该函数。

   步骤依据

   讲述者描述观察每一个点移动到它本应到达的位置。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   追踪所有点移动后网格线的像。

   步骤依据

   动画显示原先笔直的网格线相对于原始坐标轴变得倾斜和弯曲。

   视频直接表达

这个变形后的网格将该函数可视化为对整个输入空间的变换。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出$f(x)=x^2$。

2. 声音
   观察依据

   说话者以此作为单输入单输出函数的常规微积分示例。

用一个单变量函数来展示熟悉的微积分场景。

1. 一个输入变量$x$。

2. 所显示的规则是$f(x)=x^2$。

展示单变量函数的形态。

1. 公式

   $$f(x)=x^2$$
   解释

   该函数接收一个数$x$，并返回一个数，即$x$的平方。

   步骤依据

   直接写在黑板上，并以口头方式描述为普通微积分的情形。

   视频直接表达

$f(x)=x^2$是一个单变量函数。

与说话者所描述的‘一个输入、一个输出’相吻合。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出$f(x,y)=x^2+y$。

2. 声音
   观察依据

   说话者说，人们可以设想一个数，它以某种方式依赖于$x$和$y$，例如像$x^2+y$那样。

举一个二元函数的例子，其输出是一个数。

1. 两个输入变量$x$和$y$。

2. 所展示的规则是$f(x,y)=x^2+y$。

展示一个输出为数值的多元函数。

1. 公式

   $$f(x,y)=x^2+y$$
   解释

   输出依赖于两个输入：它对$x$进行平方，再加$y$。

   步骤依据

   直接写在黑板上，并口头介绍为可能依赖于$x$和$y$的一种关系。

   视频直接表达

对应的式子为：$f(x,y)=x^2+y$。

与说话者所述‘输出可以是一个依赖于两个变量的数’一致。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出$f(x,y)=\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$。

2. 声音
   观察依据

   说话者明确指出该函数也可输出向量，并构造了一个分量分别为$3x$和$2y$的例子。

1. 说话者明确表示此处纯属即兴编造，因此该例子仅为示意之用，而非源于先前的具体问题。

举一个具有多个输出分量的二元函数的例子。

1. 两个输入变量$x$和$y$。

2. 屏幕上显示的规则是$f(x,y)=\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$。

展示一个具有向量输出的多变量函数。

1. 公式

   $$f(x,y)=\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$$
   解释

   该函数接收数对$(x,y)$，并返回一个列向量，其第一个分量为$3x$，第二个分量为$2y$。

   步骤依据

   直接书写在黑板上，并以口头语言描述为一个向量输出的例子。

   视频直接表达

对应的式子为：$f(x,y)=\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$。

符合主讲人将多个输出数值视为一个向量的习惯。

1. 公式
   观察依据

   手写文字显示 $f(x,y) = x^2$。

2. 声音
   观察依据

   讲述者说这个特定的例子是 x 的平方。

3. 图示
   观察依据

   一幅彩色等高线图铺满屏幕。

1. 讲述者还提到或许存在某种复杂的情形，但本片段中屏幕上并未写出第二个明确的公式。

使用颜色与等高线在平面上可视化二元标量函数。

1. 该函数为 $f(x,y)=x^2$。

2. 输入空间是 xy 平面。

展示输出大小与等输出集合在二维可视化中的呈现方式。

1. 公式

   $$f(x,y)=x^2$$
   解释

   写出一个具有二维输入和标量输出的示例函数。

   步骤依据

   公式以手写体形式清晰显示在屏幕上，并在音频中被命名。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   表示整个输入平面，并根据每个点对应输出的大小为其赋予一种颜色。

   步骤依据

   讲解者说明，颜色大致反映输出的大小。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   绘制等高线，以标记输出值恒定的输入点集。

   步骤依据

   讲解者以这种方式定义等高线，同时图像中显示出一组同心曲线。

   视频直接表达

该示例以彩色等高线图形式呈现，函数为 $f(x,y)=x^2$，其中等高线标记输出值相等的位置。

视觉画面与口头描述一致：一个2D 输入平面，颜色编码输出的大小，等高线表示恒定输出值。

1. 图示
   观察依据

   黄色箭头填满一个2D 网格。

2. 动画
   观察依据

   液滴沿箭头方向移动。

3. 声音
   观察依据

   讲解者指出，这是一个具有二维输入和二维输出的函数，因为这些向量均为二维向量。

1. 本片段未给出所展示向量场的精确代数表达式。

想象一个函数：它在每一点处的输出都是一个向量。

1. 每个输入点都被赋予一个向量。

2. 所展示的例子具有二维输入和二维输出。

展示如何从几何角度理解该向量场。

1. 公式

   $$$$
   解释

   在平面上的每个输入点处放置一个向量箭头。

   步骤依据

   图中显示箭头分布在网格上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   将这些箭头解释为函数在对应点处的输出。

   步骤依据

   讲解者指出，每个向量即为该函数在该点处的输出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   添加移动的液滴，以示意沿向量场方向的流动。

   步骤依据

   动画展示了液滴沿着箭头所指示的方向运动。

   视频直接表达

该向量场通过每个点处的箭头来表示，而液滴的运动则直观地呈现了底层函数的方向场流动图像。

口述讲解与动画一致：箭头编码向量输出，液滴则追踪其方向场。

1. 动画
   观察依据

   规则网格变形为倾斜网格。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，这将是一个同样输出二维结果的函数，我将观察每一个输入点移动到它应到达的位置。

1. 本片段未给出变换函数的确切公式。

通过观察输入空间整体移动至输出空间的过程，来理解2维到2维的多变量函数。

1. 该函数接收二维空间中的点作为输入。

2. 该函数输出二维结果。

可视化该函数对整个输入平面所产生的影响。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从标准输入网格开始。

   步骤依据

   动画起始于等间距的水平线与垂直线。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   将每个输入点移动到其对应的输出位置。

   步骤依据

   讲解者明确描述了观察每一个点移动到它本应到达的位置的过程。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   观察由此产生的扭曲网格，它代表了输入空间的像。

   步骤依据

   最终画面中，倾斜的网格线取代了原本正交的网格。

   视频直接表达

该函数被可视化为一种变换，它将规则网格映射为一个倾斜的网格。

这种‘变换前后’的动画直接支持讲解者所陈述的变换解释。

1. 图示
   观察依据

   左上角可见文字“多元微积分”，右上角手写有“Grant”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人介绍本课主题，并说明自己名叫Grant。

1. 标题文字“多元微积分”

2. 手写姓名“Grant”

1. 在标题已呈现之后，再写出“Grant”这个名字。

1. 课题标题始终保留在左上角。

视频片段开头先明确课程主题与授课教师，随后才出现任何数学符号。

1. 图示
   观察依据

   蓝色副标题“多元函数”出现在主标题下方。

1. 蓝色文字“多元函数”

1. 一个新的副标题出现在主标题下方。

1. 主标题始终保持可见。

本节课的内容从宽泛的课程主题逐步聚焦到具体的“多元函数”这一主题。

1. 动画
   观察依据

   公式 $f(x)=x^2$ 以黄色书写，并画出一个箭头指向 $x$ 内部的 $f(x)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，普通微积分中的函数只有一个输入，并称$x$为单个变量。

1. 公式$f(x)=x^2$

2. 指向$x$的箭头

1. 该公式逐笔写出。

2. 添加一个箭头以强调输入变量。

1. 公式写完后保留在屏幕上。

对$x$的视觉强调，有助于阐明单变量函数的定义。

1. 动画
   观察依据

   公式$f(x,y)=x^2+y$以紫色书写在先前示例的下方。

2. 声音
   观察依据

   主讲人引入多变量函数，并以此为例说明一个依赖于$x$和$y$的数。

1. 公式$f(x,y)=x^2+y$

1. 第二个函数规则出现在第一个下方。

1. 先前的单变量示例仍保留在上方可见。

叠放的公式对比了单变量函数与双变量函数。

1. 动画
   观察依据

   画出两条水平的黄色数轴，一条标有$x$，另一条标有$y$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，$x$和$y$可被视作分别位于两条不同数轴上的两个独立数字。

1. 上方数轴标注为$x$

2. 下方数轴标注为$y$

1. 依次画出两条互不重合的水平直线。

1. 这两条直线均被呈现为一维数轴。

这种图示体现了将输入视为彼此分离的标量实体这一较不准确的观点。

1. 动画
   观察依据

   擦除两条数轴，并代之以相互垂直的坐标轴，构成一个$xy$-平面，并在该平面上标出一个点。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，将输入理解为$xy$-平面上的一个点，可能更为准确。

1. plotted点未标注任何坐标值。

1. 互相垂直的坐标轴

2. 平面上的已描点

1. 原先独立的数轴消失不见。

2. 取而代之的是一个平面示意图。

3. 平面上标出一个单独的点。

1. 讨论仍围绕相同的两个输入变量$x$和$y$展开。

动画演示了从两个独立数值到一个有序对位置的概念转变。

1. 动画
   观察依据

   公式$f(x,y)=\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$以紫色书写在标量输出示例的下方。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出该函数也可输出向量，并给出这个虚构示例。

1. 列向量公式$\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$

1. 出现了第三种函数规则，其输出以竖直的括号形式呈现。

1. 输入仍为$f(x,y)$。

输出的视觉形式强化了这一惯例：多个输出数值被视为一个向量。

1. 动画
   观察依据

   一个青绿色方格纹路的碗状曲面悬浮在灰色平面上方，平面上标有黄色坐标轴及一条竖直轴。

2. 声音
   观察依据

   讲解者讨论图像如何变为三维形式，以及高度如何对应函数输出值。

1. 青绿色方格纹路的曲面

2. 灰色的 xy 平面

3. 黄色的坐标轴

4. 竖直轴

1. 视点围绕曲面旋转。

2. 输入平面与高度之间的关系被突出显示。

1. 曲面始终位于平面之上。

2. 竖直方向表示输出高度。

该可视化展示了二元标量函数的图像，其中高度编码输出值。

1. 图示
   观察依据

   一个全屏的2D 彩色场随之出现，带有同心曲线。

2. 公式
   观察依据

   手写的 $f(x,y)=x^2$ 出现在顶部附近。

3. 声音
   观察依据

   讲解者解释颜色与等高线。

1. 彩色2D场

2. 等高线

3. 坐标轴标签

4. 手写公式

1. 颜色在平面上变化。

2. 同心曲线标记取值相等的集合。

1. 图像保留在输入平面内，而非抬升至3D中。

该函数完全以二维形式表示：用颜色编码输出的大小，用等高线表示相等的输出值。

1. 动画
   观察依据

   一张扁平的棋盘格薄片在3D空间中弯曲成圆柱体，再进一步弯曲成环面。

2. 声音
   观察依据

   主讲人介绍三维空间中的曲面，并称其为参数曲面。

1. 扁平的棋盘格薄片

2. 圆柱面

3. 环面

4. 3D 坐标轴

1. 曲面向上弯曲成圆柱形。

2. 圆柱形闭合为环面。

1. 棋盘格图案始终附着在曲面上。

2. 场景保持三维空间。

动画演示了一个二维参数区域被映射到三维空间中，从而形成一个曲面。

1. 图示
   观察依据

   在2D 网格的多个点上绘制了黄色箭头。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将向量场定义为：对每个输入点都指定一个向量。

1. 2D 网格

2. 黄色箭头

1. 多个输入位置处出现箭头。

1. 每个箭头都锚定在平面上的一个点上。

这些箭头表示函数在各输入点处所对应的向量输出。

1. 动画
   观察依据

   微小液滴在箭头场中运动。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：请想象一种流体在流动，而这些液滴正沿着该流体流动。

1. 液滴

2. 箭头场

1. 液滴开始运动。

2. 它们的轨迹遵循局部箭头所指示的方向。

1. 底层的箭头场始终保持可见。

液滴的运动为向量场提供了直观的流体流动解读。

1. 声音
   观察依据

   主讲人首先指出，可以将$x$和$y$想象成数轴上的两个独立数字，随后又表示，更准确的理解方式是将其视为$xy$-平面中的一个点。

2. 动画
   观察依据

   黑板上直观地用一个包含某一点的平面，替换了原先两条独立的数轴。

仅将输入$x$和$y$理解为分别位于两条独立数轴上的两个单独数字。

对于二元函数而言，数对$(x,y)$更宜被理解为$xy$-平面中的一个点，因此该函数将一个点映射为一个数或一个向量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，许多人会直接跳入偏导数与梯度的学习，而他希望先用若干期视频探讨多元函数的各种可视化方法。

认为应立即从偏导数与梯度等计算工具入手。

该片段主张，应先建立多元函数类型的直观图像认知，再进入微积分运算的学习。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：三维空间中的曲面……看似像函数图像，但实际上处理的是截然不同的对象。

由于参数曲面绘制在3D中，人们可能误以为它们与标量函数的图像属于同一类对象。

视频对此作了区分：此处所说的图像，是指标量输出关于2D输入平面的高度表示；而参数曲面则源于将二维空间映射到三维空间。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说，如果这不能立刻理解，也不必担心。

观众或许会期待每个预览的可视化图示都能在初次接触时就完全理解。

主讲人明确将本段定位为快速导引，并说明后续会有更详细的视频。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将单输入的普通微积分函数与处理多个变量的多元函数进行对比。

2. 公式
   观察依据

   $f(x)=x^2$之后紧接着在黑板上写出$f(x,y)=x^2+y$。

多元函数的概念通过允许多于一个输入变量，将单变量情形加以推广。

1. 公式
   观察依据

   黑板上同时展示了$f(x,y)=x^2+y$和$f(x,y)=\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，输出通常可以是一个数，但也可能是一个向量。

在多元函数这一宽泛类别中，该片段区分了标量输出与向量输出两种情形。

1. 动画
   观察依据

   原本分别表示$x$和$y$的数轴，被一个含有一点的$xy$平面所取代。

2. 声音
   观察依据

   主讲人说，应当思考$xy$平面及其中的一个点。

几何解释通过将多元函数的多个输入重新理解为平面上的一个点，从而适用于多元函数。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将平面—点的视角与“多维微积分”这一说法更为准确的论断联系起来。

这一术语论断依赖于先前对输入的几何重构：即将输入视为平面上的点，而非彼此分离的标量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人提到可以立即学习偏导数和梯度，但表示将先讨论多元函数的可视化方法。

1. 本片段中提到了偏导数和梯度，但未给出定义。

本片段对比了直接进入计算型微积分主题与先建立对多元函数的直观理解这两种路径。

1. 声音
   观察依据

   主讲人从3D图像过渡到指出：这类函数同样可在二维中进行可视化，即把图形“压平”。

等高线图被呈现为同一类标量多变量函数的二维替代方案，用以替代三维图像。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将等高线定义为具有相同输出值的所有输入点的集合。

等高线正是等高线图这一可视化方式用来编码恒定输出值的机制。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，曲面看似图像，实则处理的是截然不同的对象——即将二维映射到三维。

两者均在三维空间中绘制，但图像表示的是平面上的标量高度，而参数曲面表示的是从2维到3维的映射输出。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，每个输入点都对应一个向量，该向量即为函数在该点的输出。

‘向量场’这一符号由如下规则定义：函数在每一点处的输出均为一个向量。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，将函数理解为变换，将是连接这两者的极佳方式。

变换视角被呈现为多元微积分与线性代数之间的桥梁。

1. 声音
   观察依据

   主讲人提问“多元”一词的含义，并通过将其与普通单变量函数对比来作答。

1. 主题定位：多变量微积分
2. 单变量函数
3. 多变量函数

1. 公式
   观察依据

   黑板上先显示$f(x)=x^2$，然后显示$f(x,y)=x^2+y$。

1. 单变量函数
2. 多变量函数

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示$f(x,y)=\begin{bmatrix}3x\\2y\end{bmatrix}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，函数的输出也可以是一个向量。

1. 多个数值的输入与输出的约定
2. 向量输出型多元函数的例子

1. 动画
   观察依据

   两条数轴被一个含有一点的$xy$平面所取代。

2. 声音
   观察依据

   主讲人表示，更准确的理解方式是考虑$xy$平面及其中的一个点。

1. 将$(x,y)$视作$xy$-平面上的一个点
2. 将两个输入数重新解释为平面上的一个点
3. 将多变量输入视为彼此无关的一维对象

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，称其为“多维微积分”可能更为准确。

1. 术语主张：多元函数 与之对比 多维函数
2. 将$(x,y)$视作$xy$-平面上的一个点

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，许多人直接跳入偏导数与梯度的学习，而他希望先讨论函数的可视化。

1. 在多元微积分入门阶段，先讲运算再讲可视化
2. 主题定位：多变量微积分

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，图像虽变为三维，但实际上仅适用于具有二维输入与单个数值输出的函数。

1. 标量型多元函数的三维图像
2. 3维图像可视化的作用范围

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，等高线告诉你哪些输入共享同一个恒定的输出值。

1. 等高线图可视化
2. 等高线的含义

1. 声音
   观察依据

   讲解者对比了形似图像的曲面与从二维到三维的映射。

1. 参数曲面
2. 参数化曲面与函数图像
3. 不要将参数曲面与普通函数图像混淆

1. 声音
   观察依据

   讲解者将向量场定义为：为每个输入点分配一个向量。

1. 向量场
2. 向量场的输出类型

1. 声音
   观察依据

   讲解者描述了将输入空间中的点映射到其输出位置的过程，并将这一过程与线性代数联系起来。

1. 函数作为空间的变换
2. 变换视角与线性代数相联系。

1. 公式
   观察依据

   手写示例为 $f(x,y)=x^2$。

2. 图示
   观察依据

   该示例展示了等高线图。

1. $f(x,y)=x^2$ 的等高线图示例
2. 等高线图可视化