这个例子证明数列是非递减的还是非递增的？

适用条件

• 数列由 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$ 且 $a_1=1$ 定义。
• 下界 $a_n \ge \frac{1}{2}$ 已经证明。

理解与推导

1. 计算差：$a_{n+1}-a_n = -\frac{2}{3}a_n + \frac{1}{3}$。
2. 使用界 $a_n \ge \frac{1}{2}$ 证明 $-\frac{2}{3}a_n + \frac{1}{3} \le 0$。
3. 得出 $a_{n+1}-a_n \le 0$，这意味着 $a_{n+1} \le a_n$。
4. 将此条件识别为非递增数列的定义。
5. 注意口述的“非递减”与书写的“非递增”之间的差异。

例子

黑板上写着 $a_{n+1}-a_n\le0\Rightarrow a_{n+1}\le a_n$，后来明确陈述“$\{a_n\}_{n=1}^\infty$ bounded 且 non-increasing”（有界且非递增）。

容易误解的地方

• 仅依赖口述音频而不检查书写的数学不等式。
• 将不等式 $a_{n+1} \le a_n$ 的方向与非递减行为混淆。

观看对应讲解

继续追问

• 在这个递归数列的证明中，哪里使用了单调收敛定理？
• 在知道数列收敛后，如何找到实际的极限？