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顺着知识，继续探索

数学概念索引

这里收录 98 个已发布的数学概念。按学科寻找知识点，阅读定义，再沿着常见问答、相关概念和已有视频继续学习。

数学建模

  • 背包问题

    在容量限制下选取子集，动态规划可伪多项式求解。

  • 变量与状态量定义

    写方程前先给每个符号定单位与取值范围，否则结果无法核验。

  • 标准化与量纲缩放

    基于距离的方法前要先缩放各列，否则单位最大的变量会主导结果。

  • 层次分析法

    对指标做两两比较矩阵，由主特征向量导出权重并做一致性检验。

  • 插值与曲线拟合

    插值穿过每个样点，拟合则以偏差换方差来平滑噪声。

  • 差分方程模型

    描述世代或季度等离散步动态，通过乘子大小判断稳定性。

  • 单纯形法

    沿可行多面体的顶点逐步移动，每步改进目标，直到没有可改进的边。

  • 单位与量纲不一致

    公里与小时混用、百分比与比例混用，是最常见的隐性建模错误。

  • 动态规划递推

    把序贯决策分阶段，缓存子问题值使每个只计算一次。

  • 对偶理论与影子价格

    每个线性规划都有对偶；紧约束的对偶值就是放宽一个单位带来的边际价值。

  • 多目标优化与帕累托前沿

    在相互冲突的目标间权衡，帕累托前沿上的解无法在不损害其他目标的情况下改进某个目标。

  • 房室微分方程模型

    把系统分成若干房室并在其间设置流量，SIR 是经典的传染病例子。

  • 非线性规划与 KKT 条件

    光滑非线性模型的最优性要求驻点、原始与对偶可行以及互补松弛。

  • 分支定界

    先解线性松弛，再对分数变量分支，并剪掉界值无法超过当前解的节点。

  • 过拟合与数据泄漏

    在测试集上调参或引入未来信息的模型看起来极好，在新数据上失效。

  • 回归建模

    用条件均值函数拟合数据，系数只在样本覆盖范围内可解释。

  • 建模论文结构

    按假设、建模、求解、检验、局限作答，让评审能复核每个选择。

  • 聚类分析

    按距离度量分组，度量与连接方式与算法本身同样决定分区结果。

  • 可行域与图解法

    画出约束得到可行多边形，最优解通常落在顶点，除非目标在某边上是平的。

  • 离散化

    用网格、时间步或抽样把连续问题离散化，并研究由此产生的截断误差。

  • 量纲分析

    校验等式两边单位一致，并可推出雷诺数等无量纲组合。

  • 灵敏度与鲁棒性分析

    扰动参数重跑模型，看究竟哪些假设真正决定结论。

  • 旅行商路径

    以最短总路程访问各点一次，实际建模常用启发式加下界。

  • 马尔可夫链预测

    用转移矩阵推进状态分布，其平稳向量给出各状态的长期占比。

  • 蒙特卡洛模拟

    反复抽样不确定输入，得到输出的分布与答案的置信区间。

  • 模糊综合评价

    用隶属函数与模糊关系把等级评价合成为一个可比较的分值。

  • 模型假设与简化

    写明忽略哪些因素及理由，使模型既可解又能被数据检验。

  • 模型检验与误差指标

    留出一部分数据做检验，核对单位与量级，报告读者能据以决策的误差。

  • 排队与库存模型

    用到达与服务率平衡等待时间，用订货成本与存储成本权衡订货批量。

  • 判别分析

    寻找能区分已标注组的线性组合，并按最近的组心对新样本分类。

  • 人口与增长模型

    把人口的出生死亡率写成微分方程，逻辑斯蒂项用环境容纳量限制增长。

  • 熵权定权

    让数据按离散程度决定指标权重：某列越均匀信息量越小，权重越低。

  • 时间序列与指数平滑

    按时间建模水平、趋势与季节项，平滑对近期观测赋更大权重。

  • 数学建模流程

    把真实问题拆成变量、假设、可解模型、求解与对照数据的检验步骤。

  • 套用模板而不写假设

    沿用知名模型却不写前提，会掩盖答案何时不再成立。

  • 网络流模型

    在容量约束下最大化流量，最小割定理把瓶颈论述变成可算的上界。

  • 线性规划模型

    在线性不等式约束下优化线性目标，是资源配置类问题的主力模型。

  • 异常值处理

    区分录入错误与真实极端值，稳健拟合与截尾处理对结论的影响不同。

  • 运输与指派问题

    按最小成本把供给运到需求或把人岗匹配，特殊结构比通用求解更快。

  • 整数规划

    要求部分变量取整数或 0/10/1，用来表达是否选择、计数与排序决策。

  • 主成分分析

    把相关变量旋转到方差最大的正交方向，仅保留前若干主成分。

  • 最短路模型

    Dijkstra 处理非负权网络，Bellman-Ford 允许负边并支撑路径定价。

  • 最小二乘与残差诊断

    先最小化残差平方和，再看残差图判断弯曲、异方差与异常值，然后才谈 R 方。

  • 最小生成树

    用 Kruskal 或 Prim 以最小总代价连通所有节点，是布线与管网设计的基础。

  • ARIMA 与差分

    先差分到平稳，再拟合自回归与移动平均项，预测误差随步长增长。

  • TOPSIS 排序法

    用方案到正理想解的相对贴近度与到负理想解的距离来排序。

微积分

  • 导数

    导数是差商的极限，在极限存在时刻画函数的局部变化率。

  • 定积分

    黎曼积分在可积条件下，用和式的极限描述带符号的累积量。

  • 反常积分

    无界区间或奇点附近的积分通过极限定义，必须判断该极限是否收敛。

  • 分部积分

    乘积求导法则给出积分恒等式，在适当可微、可积条件下将一个积分转化为另一个。

  • 函数

    函数为定义域内每个输入指定唯一输出；讨论表达式时，需要同时明确其定义域。

  • 级数

    无穷级数收敛意味着部分和序列有有限极限；通项趋于零并不足以保证收敛。

  • 极限

    极限描述自变量趋近某点时函数值的趋近行为，不要求函数在该点有定义。

  • 连续性

    函数在一点连续，意味着该点函数值等于该处极限；在区间上连续需要各点满足相应条件。

  • 链式法则

    可微复合函数的导数，由外层函数的导数与内层函数的导数相乘得到。

  • 泰勒级数

    泰勒系数由一点处各阶导数给出；函数等于其级数还需要收敛与余项条件。

  • 微积分基本定理

    被积函数连续时，累积积分的导数恢复被积函数，原函数可用于计算定积分。

  • 隐函数求导

    对变量间的方程求导并使用链式法则，同时检查所得关系能够确定导数的条件。

  • 原函数

    原函数的导数等于给定函数；在一个区间上，任意两个原函数相差一个常数。

  • 中值定理

    函数在闭区间连续、开区间可导时，存在内点使导数等于区间上的平均变化率。

  • 最优化

    导数帮助寻找极值候选点，还须检查端点、定义域限制以及局部极值与全局极值的区别。

线性代数

  • 对角化

    矩阵存在由特征向量组成的基时可对角化；特征值重复本身不能决定是否可对角化。

  • 高斯消元

    初等行变换在保持解集不变的条件下化简方程组，揭示主元与自由变量。

  • 基与维数

    基是一组线性无关的张成向量；每个向量在该基下都有唯一坐标。

  • 矩阵

    矩阵是矩形数表，可表示数据或选定基下的线性映射；维数匹配时，矩阵乘法表示复合。

  • 内积

    内积通过正定的双线性或半双线性结构定义长度与正交关系。

  • 特征值与特征向量

    线性算子将非零特征向量变为自身的数倍，该倍数称为特征值。

  • 线性变换

    线性变换保持向量加法与数乘，其矩阵表示取决于所选的基。

  • 线性方程组

    方程组 Ax=b 询问 b 是否为 A 的列向量的线性组合，以及系数如何确定。

  • 线性无关

    一组向量线性无关，意味着其线性组合为零向量时，各系数只能全为零。

  • 向量

    向量可以相加和数乘；坐标列表是在选定基下对向量的表示。

  • 向量空间

    向量空间在选定数域上定义加法与数乘，并满足向量空间公理。

  • 行列式

    方阵的行列式刻画带符号的体积缩放，且恰在矩阵可逆时非零。

  • 张成空间

    一组向量的张成空间，由这些向量的一切有限线性组合组成。

  • 正交投影

    正交投影将向量分解为子空间内的分量和垂直于该子空间的分量。

  • 秩与零度

    秩是像空间的维数；有限维线性映射的秩与核空间维数之和等于定义域维数。

  • 最小二乘

    最小二乘使残差范数平方最小，对应将目标向量投影到列空间。

概率统计

  • 贝叶斯定理

    贝叶斯定理利用先验概率和非零证据概率，联系两个方向的条件概率。

  • 参数估计

    估计量利用样本数据估计模型参数；偏差、方差与一致性描述不同性质。

  • 抽样

    抽样从总体中选取观测，抽样设计决定样本能够支持哪些推断。

  • 大数定律

    在适当假设下，样本平均以所规定的收敛方式趋近总体期望。

  • 独立性

    两个事件独立，意味着交集概率等于各自概率的乘积；独立不同于互斥。

  • 二项分布

    二项随机变量统计固定次数、成功概率相同且相互独立的伯努利试验中的成功次数。

  • 方差

    相关矩存在时，方差刻画随机变量偏离均值的平方的期望。

  • 概率

    概率测度给事件赋予非负权重，总权重为一，并对互不相交事件满足可列可加性。

  • 概率分布

    概率分布记录随机变量取值的概率规律，可用概率质量、密度或分布函数表示。

  • 假设检验

    假设检验在控制规定错误率的条件下，将数据与原假设模型比较；p 值不是原假设为真的概率。

  • 数学期望

    数学期望是在定义存在时的概率加权平均；并非所有随机变量都有有限期望。

  • 随机变量

    随机变量是概率空间上的可测函数，使随机结果能够用数值描述。

  • 条件概率

    当 P(B)>0P(B)>0 时，条件概率将范围限制在 B 内，并重新归一化概率。

  • 正态分布

    正态分布由均值与正方差确定，具有对称的钟形概率密度。

  • 置信区间

    置信区间程序具有重复抽样的覆盖率；对固定参数，已得到的区间并不是后验概率陈述。

  • 中心极限定理

    独立同分布且具有有限正方差的随机变量，其标准化和趋近正态分布。

离散数学

  • 欧几里得算法

    欧几里得算法通过反复带余除法计算最大公约数。把 (a,b) 替换为 (b,r) 不改变公因数，而非负余数严格递减，因此过程必然终止。

  • 排列

    排列记录顺序。n 个不同对象的全排列有 n! 种；重复且不可区分的对象需要除去组内交换造成的重数。须说明各组数量、是否用尽所有对象，以及旋转是否视为不同排列。

  • 组合

    从 n 元集合中无序选取 k 个不同元素，要求整数 0≤k≤n0\le k\le n。每个所选子集对应 k!(n−kn-k)! 个全排列；允许重复选取时是另一类问题，必须另说明条件。

  • 组合计数

    利用互斥分类求和、逐步选择相乘、等重数除法或双射计数有限结果。须核对分类是否互斥、重数是否固定；选择数量相乘不是概率独立性假设。

  • 最大公约数

    对不同时为零的整数 a 与 b，最大公约数是同时整除二者的唯一正整数，并且每个其他公因数都整除它。改变 a、b 的符号不改变这个正值。