如何为常微分方程 $\ddot{x}+3\dot{x}+2x=2e^{-t}$ 获得齐次根 $r=-2$ 和 $r=-1$？

重根情况发生在判别式 $b^2 - 4ac$ 为零时，导致两个特征根 $r_1$ 和 $r_2$ 相同（$r_1 = r_2$）。视频将其识别为一个独特的场景，其中两个指数的标准线性组合 $c_1 e^{rt} + c_2 e^{rt}$ 坍缩为单项，需要更复杂的求解方法（通常涉及 $t e^{rt}$ 项），这被推迟到后面的视频中。

适用条件：判别式 $b^2 - 4ac = 0$。；$r_1 = r_2$。

$\pm$ 符号表明二次公式为 $r$ 产生了两个不同的根，记为 $r_1$ 和 $r_2$。这两个根对应于两个独立的指数解，$e^{r_1 t}$ 和 $e^{r_2 t}$，它们构成了通解的基础。

适用条件：特征方程是二次的。；判别式 $b^2 - 4ac$ 为正（在此特定片段介绍的上下文中产生两个不同的实根）。

特解使用 $Ate^{-t}$ 是因为强迫项 $e^{-t}$ 已经是相关齐次方程的解。在待定系数法中，如果强迫函数与齐次解重叠（共振），标准猜测必须乘以 $t$ 以确保线性无关。

适用条件：常微分方程是线性的且具有常系数。；强迫项包含 $e^{-t}$。；$r=-1$ 是齐次特征方程的根。

当特征根 $r_1$ 和 $r_2$ 是实数且不同时，每个根生成一个有效的指数解 $e^{r_1 t}$ 和 $e^{r_2 t}$。因为微分方程是线性齐次的，叠加原理适用，这意味着这些解的任何线性组合也是解。

适用条件：微分方程是线性、齐次且具有常系数的。；特征根 $r_1$ 和 $r_2$ 是实数且不同。

当判别式 $b^2 - 4ac$ 为负时，二次公式中的平方根项变为虚数。这导致复特征根 $r_1$ 和 $r_2$。

适用条件：系数 $a, b, c$ 是实数。；判别式 $b^2 - 4ac < 0$。