在布莱克-斯科尔斯-默顿公式中，中间变量 $d_1$ 和 $d_2$ 是如何计算的？

适用条件

• $S_0 > 0$ 且 $X > 0$ 以计算自然对数 $\ln(S_0/X)$。
• $\sigma > 0$ 以作为有效的分母。
• $T > 0$ 以使平方根 $\sqrt{T}$ 有意义。

理解与推导

1. 识别当前股票价格 $S_0$、执行价格 $X$、无风险利率 $r$、波动率 $\sigma$ 和到期时间 $T$。
2. 计算价格比的自然对数：$\ln(S_0/X)$。
3. 计算漂移项：$(r + \sigma^2/2)T$。
4. 将对数项和漂移项相加，形成 $d_1$ 的分子。
5. 计算 $d_1$ 的分母：$\sigma\sqrt{T}$。
6. 将分子除以分母以求出 $d_1$。
7. 从 $d_1$ 中减去 $\sigma\sqrt{T}$ 以求出 $d_2$。
8. 在查阅标准正态分布表之前，将 $d_1$ 和 $d_2$ 四舍五入到最接近的百分位。

例子

在视频的示例中，讲师写下了 $d_1 = \frac{\ln(S_0/X) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$，然后写下 $d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$，明确指出 $d_2$ 不需要从头重新计算，而是通过从 $d_1$ 中减去相同的分母量来获得。

容易误解的地方

• 试图使用单独的复杂公式来计算 $d_2$，而不是从 $d_1$ 导出。
• 忘记在查阅标准正态分布表之前将 $d_1$ 和 $d_2$ 四舍五入到小数点后两位。
• 在 $d_1$ 的分子中将方差 $\sigma^2$ 与标准差 $\sigma$ 混淆。

观看对应讲解

继续追问

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