在面部测量示例中，如何从原始三维向量获得两个压缩坐标 $z_1$ 和 $z_2$？

适用条件

• 原始样本 $\mathbf{x}$ 位于 $\mathbb{R}^3$ 中。
• 主方向 $\mathbf{e}_1$ 和 $\mathbf{e}_2$ 定义了二维坐标系。
• 坐标通过与这些方向的点积获得。

理解与推导

1. 从三维特征空间中面部的原始三测量描述开始。
2. 引入附加到提取的主平面上的新二维坐标系。
3. 将 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{e}_1$ 的点积计算为第一个压缩坐标 $z_1$。
4. 将 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{e}_2$ 的点积计算为第二个压缩坐标 $z_2$。
5. 用一对标量投影代替三个原始测量值来表示三维样本。

例子

视频在右侧面板中显示公式 $[z_1, z_2]^T = [\mathbf{x} \cdot \mathbf{e}_1, \mathbf{x} \cdot \mathbf{e}_2]^T$，取代了左侧面板的 $[x_{nose}, x_{eye}, x_{jaw}]^T$。

容易误解的地方

• 假设压缩只是简单地删除了原始坐标之一（例如，丢弃下颌宽度）。
• 认为点积计算的是欧几里得距离而不是投影长度。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么视频在面部示例中声称存储减少了 33.3%？
• 如何从二维坐标重建回三维？