如何图形化地理解笛卡尔积对并集的分配律？

适用条件

• A、B 和 C 是任意集合。
• 几何类比将集合视为长度，将笛卡尔积视为矩形面积。

理解与推导

1. 将集合 C 表示为矩形的高度。
2. 将并集 A ∪ B 表示为矩形的总宽度。
3. 将总宽度分为代表 A 和 B 的两段。
4. 计算左侧子矩形的面积为 $A \times C$。
5. 计算右侧子矩形的面积为 $B \times C$。
6. 观察到总面积 (A ∪ B) × C 等于两个子面积之和 ($A \times C$) ∪ ($B \times C$)。

例子

视频显示了一个高度为 C、底边分为 A 和 B 两段的大矩形。内部被分为两个标记为 $A \times C$ 和 $B \times C$ 的小矩形，直观地验证了总面积等于各部分面积之和。

容易误解的地方

• 认为几何模型在没有依赖笛卡尔积定义的情况下严格证明了代数恒等式。
• 将矩形的宽度与集合 C 混淆。
• 假设两个矩形的并集总是一个单一的矩形。

观看对应讲解

继续追问

• 两个笛卡尔积的交集是什么？
• ($A \times B$) ∪ ($C \times D$) 是否等于 (A ∪ C) × (B ∪ D)？
• 笛卡尔积对并集和交集满足哪些分配律？