部分和如何近似由级数 $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots$ 定义的函数？

适用条件

• 近似值在展开中心（$x=0$）附近进行评估。
• 从无穷级数中选取有限数量的项。

理解与推导

1. 选择级数的前 $n$ 项以形成部分和多边形。
2. 在坐标平面上将该多项式与目标函数一起绘制。
3. 观察到该多项式在 $x=0$ 附近与目标函数紧密匹配。
4. 向部分和添加更多项，并观察到紧密吻合的区域向外扩展。
5. 得出有限多项式是局部近似值，且随着项数增加而改善的结论。

例子

视频演示了绘制前两项（$1 - \frac{x^2}{2!}$），得到一个向下的抛物线，然后添加第三项（$+ \frac{x^4}{4!}$），形成一个“W”形，更长时间地贴合实际函数曲线。

容易误解的地方

• 假设有限部分和将在所有地方完美匹配目标函数。
• 认为添加项只会改善恰好在 $x=0$ 处的近似值，而不会扩大有效区间。

观看对应讲解

继续追问

• 余弦函数的麦克劳林级数是什么？
• 为什么蓝色曲线偏离红色曲线？
• 各项如何影响近似的形状？