在定积分中使用 u-代换时，积分限如何变化？

适用条件

• 积分是定积分。
• 正在使用代换 $u = u(x)$。
• 原始积分限是以 $x$ 给出的。

理解与推导

1. 识别以 $x$ 表示的原始下限和上限积分限。
2. 写出将 $u$ 与 $x$ 关联的代换方程。
3. 将原始下限 $x$ 代入方程以找到新的下限 $u$。
4. 将原始上限 $x$ 代入方程以找到新的上限 $u$。
5. 使用新的 $u$ 界限和转换后的被积函数重写定积分。

例子

在演示示例中，讲师说道，“然后我们只需改变积分的界限。”他代入 $x=0$ 得到 $u=1$，代入 $x=32/9$ 得到 $u=9$，将积分界限从 $x$ 的 $[0, 32/9]$ 转换为 $u$ 的 $[1, 9]$。

容易误解的地方

• 在从 $dx$ 切换到 $du$ 时忘记改变积分界限。
• 将 $x$ 界限代入错误的方程或未能正确计算算术结果。
• 在将被积函数转换为 $u$ 后，使用原始 $x$ 界限计算定积分。

观看对应讲解

继续追问

• 这里使用的 $\sqrt{u}$ 的原函数是什么？
• 如何计算定积分 $\frac{4}{9}\int_{1}^{9}\sqrt{u}$\,du？