上确界和单调性的性质如何结合起来将序列项限制在区间 $(L - \epsilon, L]$ 内？

适用条件

• 序列 $\{a_n\}$ 是单调递增的。
• 序列 $\{a_n\}$ 以 $L$ 为上界。
• 给定 $\epsilon > 0$。

理解与推导

1. 利用上确界的定义找到 $N$，使得 $a_N > L - \epsilon$。
2. 利用单调性确立对于所有 $n > N$，有 $a_n \ge a_N$。
3. 结合前两步得到对于所有 $n > N$，有 $a_n > L - \epsilon$。
4. 利用上界性质陈述对于所有 $n$，有 $a_n \le L$。
5. 合并不等式得出结论：对于 $n > N$，有 $L - \epsilon < a_n \le L$。

例子

脚本推导道：“结合全局上界 $a_n \le L$，我们导出不等式 $L - ε < a_n \le L$。这证实了在索引 N 之后，所有项都位于 L 的 epsilon 邻域内。”

容易误解的地方

• 忘记下界条件仅适用于 $n > N$，不一定适用于所有 $n$。
• 假设 $a_n$ 最终等于 $L$；该不等式允许 $a_n$ 严格小于 $L$。

观看对应讲解

继续追问

• 这如何使用 epsilon-N 定义证明极限恰好是 L？
• 如果序列不是单调的会有什么变化？