如何计算纳什均衡中玩家 1 混合策略的概率 p？

适用条件

• 游戏是具有 2x2 收益矩阵的有限标准形式游戏。
• 玩家 1 以概率 $p$ 选择 R，以概率 $1-p$ 选择 L。
• 玩家 2 从玩 R 和 L 获得的期望收益必须使用玩家 1 的混合策略来计算。
• $p$ 的解必须位于区间 $[0, 1]$ 内，以表示有效的混合策略。

理解与推导

1. 识别收益矩阵中每个结果的玩家 2 的收益。
2. 通过将 R 列中玩家 2 的收益按玩家 1 的概率 $p$ 和 $1-p$ 加权，计算玩家 2 选择策略 R 时的期望收益，记为 $\pi_2(R)$。
3. 通过将 L 列中玩家 2 的收益按玩家 1 的概率 $p$ 和 $1-p$ 加权，计算玩家 2 选择策略 L 时的期望收益，记为 $\pi_2(L)$。
4. 将两个期望收益设为相等：$\pi_2(R) = \pi_2(L)$。
5. 求解所得的代数方程以得到 $p$。

例子

在显示的游戏里，玩家 2 选择 R 的期望收益是 $\pi_2(R) = p(1) + (1-p)(0) = p$。玩家 2 选择 L 的期望收益是 $\pi_2(L) = p(0) + (1-p)(2) = 2 - 2p$。将它们设为相等得到 $p = 2 - 2p$。两边加上 $2p$ 得到 $3p = 2$，除以 3 得到 $p = 2/3$。

容易误解的地方

• 学生可能直觉地认为玩家应该选择概率来直接最大化自己的期望收益，而不是为了让对手无差异。
• 一个常见的错误是在求解玩家 1 的混合概率 $p$ 时使用玩家 1 自己的收益。混合概率 $p$ 的选择是为了让玩家 2 无差异，因此必须使用玩家 2 的收益。

观看对应讲解

继续追问

• 当一个玩家使用混合策略时，期望收益的公式是什么？
• 如何在混合策略纳什均衡中找到玩家 2 的混合概率 q？
• 为什么在求解对手的混合策略时我们要将两个期望收益设为相等？