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如何计算递推关系 an+1=13(an+1)a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1) 的 an+1−ana_{n+1}-a_n？

从递推关系的两边减去 ana_n。分配 13\frac{1}{3} 并合并同类项，将表达式简化为 −23an+13-\frac{2}{3}a_n + \frac{1}{3}。

适用条件

  • 递推关系为 an+1=13(an+1)a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)。
  • 目标是分析差的符号以确定单调性。

理解与推导

  1. 从递推关系开始：an+1=13(an+1)a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)。
  2. 从两边减去 ana_n：an+1−an=13(an+1)−ana_{n+1}-a_n = \frac{1}{3}(a_n+1) - a_n。
  3. 分配 13\frac{1}{3}：an+1−an=13an+13−ana_{n+1}-a_n = \frac{1}{3}a_n + \frac{1}{3} - a_n。
  4. 合并 ana_n 项：13an−an=−23an\frac{1}{3}a_n - a_n = -\frac{2}{3}a_n。
  5. 写出最终简化的差：an+1−an=−23an+13a_{n+1}-a_n = -\frac{2}{3}a_n + \frac{1}{3}。

例子

讲师写道 an+1−an=13an+13−an=−23an+13a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3}a_n+\frac{1}{3}-a_n=-\frac{2}{3}a_n+\frac{1}{3}。

容易误解的地方

  • 错误地将 13\frac{1}{3} 仅分配给 ana_n 而没有分配给常数 11。
  • 未能正确合并 13an\frac{1}{3}a_n 和 −an-a_n。

观看对应讲解

2:30 – 3:01原站看这一段 ↗

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答案依据视频资料生成并经过独立核验。若有疑问，请核对原视频或联系原作者。