如何计算递归定义的数列 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$（其中 $a_1=1$）的前几项？

适用条件

• 递推关系为 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$。
• 初始值为 $a_1=1$。
• 索引 $n$ 从 $1$ 开始。

理解与推导

1. 将 $a_1=1$ 代入 $n=1$ 时的递推关系：$a_2=\frac{1}{3}(1+1)$。
2. 简化算术运算得到 $a_2=\frac{2}{3}$。
3. 将 $a_2=\frac{2}{3}$ 代入 $n=2$ 时的递推关系：$a_3=\frac{1}{3}(\frac{2}{3}+1)$。
4. 将括号内的分数相加：$\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$。
5. 乘以 $\frac{1}{3}$ 得到 $a_3=\frac{5}{9}$。

例子

黑板上显示了明确的计算过程：$a_2=\frac{1}{3}[1+1]=\frac{2}{3}$ 和 $a_3=\frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}+1\right]=\frac{5}{9}$。

容易误解的地方

• 当定义域指定为 $n \ge 1$ 时，假设递推关系适用于 $n=0$。
• 忘记将 $\frac{1}{3}$ 分配给递推关系中的 $a_n$ 和 $1$。

观看对应讲解

继续追问

• 关于数列各项提出了什么下界主张？
• 如何通过数学归纳法证明 $a_n \ge \frac{1}{2}$？