← 全部问题如何将微分方程 dy/dx=y/(x+y2) 转化为关于 x 的一阶线性方程？
取两边的倒数以交换自变量和因变量的角色，得到
dx/dy=(x+y2)/y。拆分右边的分数，得到
dx/dy=(1/y)x+y。最后，重新排列各项以匹配标准线性形式，得到
dx/dy−(1/y)x=y。
适用条件
- 该方程是一阶微分方程。
- y 不等于零，允许除以 y 并取倒数。
理解与推导
- 从方程开始：dy/dx=y/(x+y2)。
- 取两边的倒数：dx/dy=(x+y2)/y。
- 拆分分数：dx/dy=(1/y)x+y。
- 重新排列为标准线性形式：dx/dy−(1/y)x=y。
- 识别 p(y)=−1/y 和 q(y)=y。
例子
视频演示了这种变量交换技术，展示了关于 y 非线性的方程如何变成关于 x 线性的方程。
容易误解的地方
- 尝试直接分离变量，这会因为分母中 x 和 y 相加而失败。
- 在交换变量时忘记将导数记号从 dy/dx 改为 dx/dy。
答案依据视频资料生成并经过独立核验。若有疑问，请核对原视频或联系原作者。