如何将微分方程 (y - x sin x)dx + xdy = 0 转化为一阶线性方程的标准形式？

适用条件

• 该方程是一阶微分方程。
• x 不等于零，允许除以 x。

理解与推导

1. 从原始方程开始：(y - x sin x)dx + xdy = 0。
2. 将 dx 项移到右边：xdy = -(y - x sin x)dx。
3. 除以 dx 和 x：$dy/dx = -(y - x \sin x)/x$。
4. 拆分分数：$dy/dx = -y/x + \sin x$。
5. 重新排列为标准形式：y' + ($1/x$)$y = \sin x$。

例子

讲师在黑板上执行了这一逐步的代数操作，为应用线性解公式做准备。

容易误解的地方

• 在移项时未能正确分配负号。
• 忘记除以 x，导致方程仍处于非标准形式。

观看对应讲解

继续追问

• 在标准形式 y' + ($1/x$)$y = \sin x$ 中，$P(x)$ 和 $Q(x)$ 是什么？
• 如何对该线性方程应用通解公式？