如何使用换元法计算从 0 到 ln 2 的 $e^u$ sqrt($1+e^u$) 定积分？

适用条件

• 积分是定积分，限为 $u=0$ 到 $u=\ln 2$。
• 被积函数是 $e^u \sqrt{1+e^u}$。
• 使用换元 $x = 1 + e^u$。

理解与推导

1. 令 $x = 1 + e^u$。
2. 求微分得 $dx = e^u du$。
3. 转换下限：当 $u=0$ 时，$x = 1 + e^0 = 2$。
4. 转换上限：当 $u=\ln 2$ 时，$x = 1 + e^{\ln 2} = 3$。
5. 用 $x$ 重写积分：$\int_2^3 \sqrt{x} dx$。
6. 求 $\sqrt{x}$ 的原函数，即 $\frac{2}{3}x^{3/2}$。
7. 在上限处求原函数的值：$\frac{2}{3}(3)^{3/2} = 2\sqrt{3}$。
8. 在下限处求原函数的值：$\frac{2}{3}(2)^{3/2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$。
9. 用上限值减去下限值：$2\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$。
10. 得出定积分的值为 $2\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$。

例子

对于从 0 到 $\ln 2$ 的 $e^u\sqrt{1+e^u}$ 积分，令 $x=1+e^u$ 将其转换为从 2 到 3 的 $\sqrt{x}$ 积分。在 3 和 2 处求值 $\frac{2}{3}x^{3/2}$ 得到 $2\sqrt{3}-4\sqrt{2}/3$。

容易误解的地方

• 在变量变为 $x$ 后仍保留旧的积分限（$0$ 和 $\ln 2$）。
• 在代换 $dx$ 时忘记包含 $e^u$ 因子。
• 错误计算 $3^{3/2}$ 或 $2^{3/2}$。

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继续追问

• 为什么在使用换元法时必须转换积分限？
• $\sqrt{x}$ 的原函数是什么？
• 如果积分限不同，积分会如何变化？

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