定积分｜inTuition

新的积分限是 $x=2$ 和 $x=3$。当 $u=0$ 时，$x = 1 + e^0 = 1 + 1 = 2$。

适用条件：换元为 $x = 1 + e^u$。；原始限为 $u=0$ 和 $u=\ln 2$。；在这些点处评估指数函数 $e^u$。

要计算该定积分，令 $x = 1 + e^u$，则 $dx = e^u du$。将积分限从 $u=0$ 和 $u=\ln 2$ 转换为 $x=2$ 和 $x=3$。

适用条件：积分是定积分，限为 $u=0$ 到 $u=\ln 2$。；被积函数是 $e^u \sqrt{1+e^u}$。；使用换元 $x = 1 + e^u$。

换元 $x = 1 + e^u$ 简化了被积函数，因为其导数 $dx = e^u du$ 与原积分中的 $e^u du$ 项完全匹配。这使得复杂的表达式 $e^u \sqrt{1+e^u} du$ 可以重写为更简单的根式 $\sqrt{x} dx$。

适用条件：被积函数包含 $e^u \sqrt{1+e^u}$。；换元为 $x = 1 + e^u$。；微分为 $dx = e^u du$。

$\sqrt{x}$ 的原函数是 $\frac{2}{3}x^{3/2}$。这是通过将 $\sqrt{x}$ 重写为 $x^{1/2}$ 并应用积分的幂法则得到的，该法则指出对于 $n \neq -1$，$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$。

适用条件：函数是 $\sqrt{x}$。；应用了积分的幂法则。；指数 $n = 1/2$。

必须转换积分限，因为积分变量从 $u$ 变为 $x$。原来的积分限对应于 $u$ 的值，但新的积分是关于 $x$ 计算的。

适用条件：积分是定积分。；执行了换元 $x = g(u)$。；积分变量从 $u$ 变为 $x$。

$1 + e^u$ 的导数是 $e^u$，它作为因子出现在被积函数 $e^u \sqrt{1+e^u}$ 中。这使得整个项 $e^u du$ 可以被 $dx$ 替换，从而将积分简化为 $\int \sqrt{x} dx$。

适用条件：被积函数是 $e^u \sqrt{1+e^u}$。；换元为 $x = 1 + e^u$。；导数 $dx/du = e^u$ 存在于被积函数中。

最终值是 $2\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$。这是通过在转换后的限 $x=3$ 和 $x=2$ 处求值原函数 $\frac{2}{3}x^{3/2}$ 并相减得到的。

适用条件：积分是 $\int_0^{\ln 2} e^u \sqrt{1+e^u} du$。；使用换元 $x = 1 + e^u$。；积分限转换为 2 和 3。；原函数是 $\frac{2}{3}x^{3/2}$。

要计算 $\int_2^3 \sqrt{x} dx$，首先找到原函数 $\frac{2}{3}x^{3/2}$。然后，应用微积分基本定理，用上限处的原函数值减去下限处的原函数值：$\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_2^3 = \frac{2}{3}(3)^{3/2} - \frac{2}{3}(2)^{3/2}$。

适用条件：积分是 $\int_2^3 \sqrt{x} dx$。；原函数是 $\frac{2}{3}x^{3/2}$。；积分限是 2 和 3。