如何逐项展开求和式 $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$ ？

Q: 如何逐项展开求和式 $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$？

要展开求和式，需将连续的整数值代入索引 $k$ 中以计算通项。当 $k=0$ 时，该项简化为 $1$。当 $k=1$ 时，变为 $-\frac{x^2}{2!}$。当 $k=2$ 时，为 $+\frac{x^4}{4!}$，当 $k=3$ 时，为 $-\frac{x^6}{6!}$。将这些项收集起来，得到交错级数 $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots$

要展开求和式，需将连续的整数值代入索引

k

中以计算通项。当

k=0

时，该项简化为

1

。当

k=1

时，变为

-\frac{x^2}{2!}

。当

k=2

时，为

+\frac{x^4}{4!}

，当

k=3

时，为

-\frac{x^6}{6!}

。将这些项收集起来，得到交错级数

1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots

适用条件

求和索引 $k$ 从 $0$ 开始，每一项增加 $1$ 。
通项公式为 $\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$ 。

理解与推导

将 $k=0$ 代入通项得到 $\frac{(-1)^0 x^0}{0!} = 1$ 。
代入 $k=1$ 得到 $\frac{(-1)^1 x^2}{2!} = -\frac{x^2}{2!}$ 。
代入 $k=2$ 得到 $\frac{(-1)^2 x^4}{4!} = +\frac{x^4}{4!}$ 。
代入 $k=3$ 得到 $\frac{(-1)^3 x^6}{6!} = -\frac{x^6}{6!}$ 。
按顺序写出各项，并加上省略号表示该模式继续。

例子

视频明确演示了将 $k=0, 1, 2$ 和 $3$ 代入公式的过程，展示了每个值如何产生展开级数中的一项。

容易误解的地方

假设索引从 $1$ 开始而不是 $0$ 。
忘记 $(-1)^k$ 会使每一项的符号交替变化。
错误应用分母中的阶乘，例如使用 $k!$ 而不是 $(2k)!$ 。

观看对应讲解

YouTube视频 2701 - 幂级数讲解

0:38 – 1:37原站看这一段 ↗

继续追问

答案依据视频资料生成并经过独立核验。若有疑问，请核对原视频或联系原作者。

如何逐项展开求和式 ∑k=0∞(−1)kx2k(2k)!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}∑k=0∞​(2k)!(−1)kx2k​？