如何求向量在替代基下的坐标？

使用换基矩阵 $P$ 的逆矩阵。如果 $P$ 将坐标从替代基转换到标准基，那么 $P^{-1}$ 就将坐标从标准基转换到替代基。

适用条件：换基矩阵 $P$ 是可逆的。；输入向量以标准坐标给出。

在线性代数中，像 $(3, -2)$ 这样的坐标对不仅被视为静态位置，还被视为缩放因子。第一个数字水平缩放单位向量 $\hat{i}$，第二个数字垂直缩放单位向量 $\hat{j}$。

适用条件：在标准的二维笛卡尔坐标系中工作；使用标准单位基向量 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$

坐标对指定了基向量线性组合的系数。如果不了解有序基，数字 3 和 2 就无法告诉你应该缩放并相加哪些向量。

适用条件：向量空间配备了选定的有序基。；坐标被解释为该基的系数。

要构成基，一组向量必须既线性无关又张成目标空间。线性无关意味着每个向量都贡献了一个不能被其他向量重建的全新维度。

适用条件：向量属于目标向量空间；集合是最小的（没有冗余向量）

构造一个矩阵 $P$，其列是以标准坐标表示的替代基向量。将 $P$ 乘以替代基下的坐标向量，即可得到该向量的标准坐标。

适用条件：已知以标准坐标表示的替代基向量。；输入向量以替代基下的坐标给出。