如何求 $z = x^2y^2$ 的全微分？

适用条件

• 函数是 $z = x^2y^2$。
• 应用标准的偏微分规则。

理解与推导

1. 对 z 求关于 x 的偏导数，将 y 视为常数，得到 ∂$z/x = 2$xy^2。
2. 对 z 求关于 y 的偏导数，将 x 视为常数，得到 ∂$z/y = 2x^2y$。
3. 将这些偏导数代入公式 dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy。
4. 合并各项得到最终表达式 $dz = 2$xy^$2 dx + 2x^2y dy$。

例子

讲师计算对 x 的偏导数，将 y 视为常数，结果为 2xy^2。接下来，他计算对 y 的偏导数，将 x 视为常数，得到 $2x^2y$。将这些部分结合起来，最终的全微分写为 $dz = 2$xy^$2 dx + 2x^2y dy$。

容易误解的地方

• 在求偏导数时错误地应用乘积法则，而不是将另一个变量视为常数。
• 忘记分别将偏导数乘以 dx 和 dy。

观看对应讲解

继续追问

• 函数 $z = f(x,y)$ 的全微分公式是什么？
• 为什么 dz 近似于 Δz？