如何使用反证法证明一个数是最小上界？

适用条件

• β 是集合 S 的上界。
• γ 是一个实数，且 $γ < β$。

理解与推导

1. 引入一个严格小于 β 的新值 γ。
2. 为了反证，假设 γ 是 S 的上界。
3. 证明存在 S 中的一个元素 x 使得 $x > γ$。
4. 得出 γ 不能是上界的结论。
5. 推导出 β 是 S 的最小上界（上确界）。

例子

动画显示在 β 正下方引入了一条绿线 γ。一个橙色的点突破了 γ，证明存在一个元素 $x > γ$。由于任何小于 β 的数都不能包含整个集合，因此可以确定 β 是上确界。

容易误解的地方

• 认为找到一个大于 γ 的元素不足以反驳 γ 作为上界。
• 认为上确界必须是集合中最大的元素。

观看对应讲解

继续追问

• 上确界的形式定义是什么？
• 为什么上确界是唯一的？