如何在微分方程 ($1+e^x$)dy = ye^x dx 中分离变量？

适用条件

• 该方程是一阶微分方程。
• y 不等于零，允许除以 y。

理解与推导

1. 从方程开始：($1+e^x$)dy = ye^x dx。
2. 除以 ($1+e^x$)：dy = (ye^$x/(1+e^x)$)dx。
3. 除以 y：$dy/y = (e^x/(1+e^x))dx$。
4. 验证左边只包含 y 和 dy，右边只包含 x 和 dx。

例子

讲师在黑板上演示了这个两步除法过程以达到分离形式。

容易误解的地方

• 在除以 ($1+e^x$) 之前除以 y，这不必要地使代数复杂化。
• 忘记检查 $y=0$ 是否是在除法过程中可能丢失的有效解。

观看对应讲解

继续追问

• 如何积分 $dy/y = (e^x/(1+e^x))dx$？
• 为什么这个方程也被认为是一阶线性方程？