如何在微分方程 $\cos x \sin y dy = \cos y \sin x dx$ 中分离变量？

适用条件

• 该方程是一阶微分方程。
• 在感兴趣的点上，cos x 和 cos y 不为零，允许进行除法。

理解与推导

1. 从方程开始：$\cos x \sin y dy = \cos y \sin x dx$。
2. 识别需要移动的因子：左边的 cos x 和右边的 cos y。
3. 两边同时除以 cos x cos y。
4. 简化表达式得到 (sin y)/(cos y)$dy = (\sin x)/(\cos x)dx$。
5. 认识到变量现在已经完全分离。

例子

讲师在黑板上明确执行了这个除法，将三角方程转换为可分离变量的形式。

容易误解的地方

• 只除以其中一个余弦项，未能完全分离变量。
• 忘记除以 cos x cos y 会同时影响等式的两边。

观看对应讲解

继续追问

• 如何积分 (sin y)/(cos y)$dy = (\sin x)/(\cos x)dx$ 的两边？
• 为什么这个方程被认为是非线性的？