如何使用求根公式解一元二次方程？

适用条件

• 方程必须为标准二次形式：$ax^2 + bx + c = 0$。
• 二次项系数 $a$ 不能为零（$a \neq 0$）。

理解与推导

1. 将方程改写为所有项在一侧，零在另一侧的形式。
2. 从标准形式中识别系数 $a$、$b$ 和 $c$。
3. 将 $a$、$b$ 和 $c$ 代入求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
4. 计算平方根下的判别式 $b^2 - 4ac$ 的值。
5. 求判别式的主平方根。
6. 使用 $+$ 和 $-$ 符号将表达式拆分为两个独立的情况。
7. 对每种情况进行算术运算，得到两个分数。
8. 将分数化为最简形式以得到最终解。

例子

对于方程 $2x^2 + 3x - 2 = 0$，系数为 $a=2$，$b=3$，$c=-2$。将这些值代入公式得到 $x = \frac{-(3) \pm \sqrt{(3)^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}$。化简判别式得到 $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$，因此表达式变为 $x = \frac{-3 \pm 5}{4}$。拆分后得到 $x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 和 $x = \frac{-8}{4} = -2$。

容易误解的地方

• 错误识别常数项 $c$ 的符号；例如，当方程中有 '-2' 时将 $c$ 视为正 2，这会错误地改变判别式的计算。
• 忘记将 $\pm$ 符号拆分为两个独立的计算，导致只得到一个解而不是两个。
• 假设可以直接应用求根公式，而无需先将方程重新排列为标准形式。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么求根公式会给出两个答案？
• 如何验证计算出的二次方程的根是否正确？
• 求根公式中平方根下的表达式起什么作用？