当积分在两次分部积分后重新出现时，如何求解该积分？

LIATE 根据顺序建议哪个因子进行微分（赋给 $u$）：对数、反三角、代数、三角、指数。然而，它不是绝对规则。

适用条件：被积函数涉及来自不同 LIATE 类别的函数的乘积。；用户正在为分部积分选择 $u$ 和 $dv$。

因子 $x^3$ 与 $\sqrt{1+x^4}$ 分组，因为内部函数 $1+x^4$ 的导数是 $4x^3$。$x^3$ 的存在使得表达式 $x^3\sqrt{1+x^4}$ 可以直接使用换元法积分，这是分部积分法的前提条件。

适用条件：被积函数是 $x^7\sqrt{1+x^4}$。；方法涉及分部积分。；项 $dv$ 必须是可积的。

换元提供了分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$ 所需的原函数 $v$。如果不通过换元计算 $v$，则无法完成分部积分步骤。

适用条件：积分需要分部积分。；被积函数的一部分 ($dv$) 需要换元才能积分。；另一部分 ($u$) 容易微分。

重写被积函数将其分离为一个适合微分的因子和一个适合积分的因子。选择 $x^4$ 进行微分可以降低其幂次，而剩余的因子 $x^3\sqrt{1+x^4}$ 可以通过换元法进行积分，因为其导数包含所需的 $x^3$ 项。

适用条件：被积函数是 $x^7\sqrt{1+x^4}$。；选择了分部积分法。；第二个因子有可用的换元法。

分部积分将 $u \, dv$ 的积分替换为 $uv$ 减去 $v \, du$ 的积分。其目标是选择能使新积分更容易计算的因子。

适用条件：被积函数可以表示为两个函数的乘积。；选择的因子 $u$ 和 $dv$ 必须分别可微和可积。