二分法如何构造序列来逼近有界集合的上确界？

适用条件

• $M$ 是 $\mathbb{R}$ 的非空子集。
• $M$ 从上方有界。
• $a_1 \in M$ 且 $b_1$ 是 $M$ 的上界。

理解与推导

1. 选择 $M$ 中的任意元素 $a_1$ 和一个上界 $b_1$。
2. 计算中点 $c_n = \frac{1}{2}(a_n + b_n)$。
3. 检查 $c_n$ 是否是 $M$ 的上界。
4. 如果是，设置 $b_{n+1} = c_n$ 且 $a_{n+1} = a_n$。
5. 如果不是，找到 $M$ 中满足 $x > c_n$ 的 $x$，设置 $a_{n+1} = x$ 且 $b_{n+1} = b_n$。
6. 重复该过程以生成序列 $(a_n)$ 和 $(b_n)$。

例子

视频在数轴上说明了这一点，展示了区间 $[a_1, b_1]$ 如何在每一步通过评估中点 $c_1$ 减半，更新下界或上界以接近 $M$ 的上确界。

容易误解的地方

• 假设该方法总是同时更新两个边界；它每步只根据中点是否为上界来更新一个边界。
• 认为序列 $(a_n)$ 和 $(b_n)$ 收敛到不同的极限；它们收敛到相同的极限，即上确界。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么上界序列 $(b_n)$ 被证明是柯西列？
• 戴德金完备性公理是什么？