长方体体积的三重积分如何简化为二重积分？

适用条件

• 区域是具有恒定顶面 $z=2$ 的长方体。
• 积分按 $dz \, dy \, dx$ 的顺序求值。

理解与推导

1. 从三重积分 $\int_{0}^{3}\int_{0}^{4}\int_{0}^{2} 1 \, dz \, dy \, dx$ 开始。
2. 对最内层关于 $z$ 的积分求值：$\int_{0}^{2} 1 \, dz = [z]_0^2 = 2$。
3. 将结果代回表达式，得到 $\int_{0}^{3}\int_{0}^{4} 2 \, dy \, dx$。
4. 将其识别为表示表面 $z(x,y)=2$ 下方体积的二重积分。

例子

演讲者说，在对 z 积分后，结果是一个二重积分，这正是之前关于二重积分的视频中的积分。黑板上显示 $\int_{0}^{3}\int_{0}^{4} 2 \, dy \, dx$。

容易误解的地方

• 认为三重积分引入了一个与二重积分完全无关的新计算过程。
• 假设这种简化仅适用于常数被积函数。

观看对应讲解

继续追问

• 计算出的长方体最终体积是多少？
• 为什么在计算长方体体积的三重积分中，被积函数隐式为 1？