视频如何证明有无穷多个自然数？

适用条件

• 证明方法是反证法（PBC）。
• 讨论的集合是 $\mathbb{N}$，即自然数。
• 使用的算术事实是，给自然数加 1 会产生一个更大的自然数。

理解与推导

1. 假设目标陈述的反面：即 $\mathbb{N}$ 的数量是有限的。
2. 从有限性假设推断，必须有一个最后的自然数，并将其命名为 $x$。
3. 记录 $x \in \mathbb{N}$。
4. 构造 $x+1$ 并断言 $x+1 \in \mathbb{N}$。
5. 比较大小并注意 $x+1 > x$。
6. 识别矛盾：$x$ 被假定为最后的自然数，但 $x+1$ 是一个更大的自然数。
7. 得出假设是错误的，因此有无穷多个 $\mathbb{N}$ 的结论。

例子

手写证明显示：“Pbc.”，“假设 $\mathbb{N}$ 的数量是有限的”，“让 x 成为最后的 $\mathbb{N}$”，“$x \in \mathbb{N}$”，“$x+1 \in \mathbb{N}$”，“$x+1 > x$”，最后是“=> 有无穷多个 $\mathbb{N}$。”

容易误解的地方

• 认为直观的显而易见足以作为数学证明。
• 认为证明需要像皮亚诺公理这样的高级公理，而视频使用的是非正式的算术事实。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么构造 $x+1$ 会在第一个证明中产生矛盾？
• 在这个视频中 PBC 是什么意思？
• 这个片段中是否实际展示了两个偶数之积为偶数的证明？