如何验证猜想 $2 + 4$ + ... + $2n = n(n+1)$ 的基础步骤 $P(1)$？

适用条件

• 命题为 $P(n)$: $2 + 4$ + ... + $2n = n(n+1)$。
• 基础步骤在 $n=1$ 处检查。

理解与推导

1. 识别 $n=1$ 时的左边：求和只包含第一个偶数，所以左边 = 2。
2. 识别 $n=1$ 时的右边：将 $n=1$ 代入 $n(n+1)$ 得到 $1(1+1)$。
3. 简化右边：$1(1+1) = 1(2) = 2$。
4. 比较左边和右边：$2 = 2$。
5. 得出 $P(1)$ 为真的结论。

例子

视频显示：“$P(1)$_LHS = 2” 和 “$P(1)$_RHS = $1(1+1) = 2$”。旁白指出：“因为两边都等于 2，所以基础步骤得到验证。”

容易误解的地方

• 计算左边时没有将 n 设为 1，而是求和到了 2n。
• 忘记正确简化右边。

观看对应讲解

继续追问

• 如何证明该猜想的归纳步骤？
• 基础步骤在归纳法中的作用是什么？