如何确定由 $z = x^2 + y^2$ 和 $z = x + y$ 围成的立体的投影区域边界？

适用条件

• 立体上方由平面 $z=x+y$ 界定
• 立体下方由抛物面 $z=x^2+y^2$ 界定

理解与推导

1. 令上下曲面方程相等：$x^2+y^2 = x+y$。
2. 移项分组变量：$x^2-x + y^2-y = 0$。
3. 对 $x$ 和 $y$ 分别配方：$(x-1/2)^2 - 1/4 + (y-1/2)^2 - 1/4 = 0$。
4. 化简为标准圆方程：$(x-1/2)^2 + (y-1/2)^2 = 1/2$。

例子

脚本指出：“为了确定积分范围，我们将交线投影到xy平面上，令 $x^2+y^2=x+y$。配方得到 ($x-1/2$)^$2+(y-1/2)^2=1/2$，定义了一个中心在 ($1/2$, $1/2$)、半径为 sqrt(2)/2 的圆形区域。”

容易误解的地方

• 假设投影区域总是以原点为中心。
• 配方错误导致圆心或半径计算失误。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么在该区域内平面被视为上界？
• 如果两个曲面不相交会怎样？