如何从牛顿第二定律推导经典波动方程？

适用条件

• 弦是理想的（无结且不可伸长），因此张力 $F_T$ 处处均匀。
• 波是横波，因此质点仅在垂直方向上运动。
• 弦的扰动非常小，允许使用小角度近似。

理解与推导

1. 在绳上取一个水平投影为 $\Delta x$ 的无穷小微元 $\Delta l$。
2. 将净垂直力写为 $F_T[\sin(\theta+\Delta\theta)-\sin\theta]$。
3. 将微元的质量表示为 $m = \mu\Delta x/\cos\theta$。
4. 将垂直加速度表示为 $a = \partial^2 f(x,t)/\partial t^2$。
5. 应用牛顿第二定律：$F_T[\sin(\theta+\Delta\theta)-\sin\theta] = \mu(\Delta x/\cos\theta)\partial^2 f(x,t)/\partial t^2$。
6. 应用小角度近似，用 $\tan$ 替换 $\sin$，用 1 替换 $\cos\theta$。
7. 用一阶偏导数 $\partial f/\partial x$ 替换 $\tan\theta$。
8. 除以 $\Delta x$ 并取极限，得到二阶偏导数 $\partial^2 f/\partial x^2$。

例子

屏幕逐步演示了从牛顿第二定律方程到最终波动方程的简化过程，得出 $\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x^2} = \frac{\mu}{F_T} \cdot \frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial t^2}$。

容易误解的地方

• 假设该推导在没有小角度近似的情况下也适用于大振幅波。
• 混淆波的传播速度与弦质点的横向速度。

观看对应讲解

继续追问

• 在推导波动方程时如何应用小角度近似？
• 二阶空间偏导数和二阶时间偏导数之间的线性关系是什么？