模块同态的余核是如何定义的？

适用条件

• $f:A\to B$ 是 $R$-模的同态。
• $\operatorname{im}(f)$ 是 $B$ 的子模。

理解与推导

1. 识别同态 $f$ 的陪域 $B$。
2. 确定 $f$ 的像，记为 $\operatorname{im}(f)$，即 $B$ 中被 $A$ 中某个元素映射到的所有元素的集合。
3. 形成商模 $B/\operatorname{im}(f)$。
4. 这个商就是 $f$ 的余核。
5. 符号上，$\operatorname{coker}(f) = B/\operatorname{im}(f)$。
6. 在视频的具体语境中，对于 $i:X\to Z$，$\operatorname{coker}(i) = Z/\operatorname{im}(i)$。
7. 视频明确陈述了这个定义，为引理的证明做准备。

例子

视频指出：“对于一般的同态 $f:A\to B$，黑板上写着 $\operatorname{coker} f = B/\operatorname{im} A$。这为后来将 $Z/\operatorname{im} i$ 识别为 $\operatorname{coker}(i)$ 做好了准备。”

容易误解的地方

• 将余核与核混淆。核是定义域（$A$）的子模，而余核是陪域（$B$）的商。
• 认为余核就是像本身。余核是陪域除以像的商。
• 假设余核总是零。当且仅当映射是满射时，余核才为零。

观看对应讲解

继续追问

• 模块同态的余核是如何定义的？
• 模块同态的余核的定义是什么？
• 为什么余核被定义为商？