恰好两个盒子为空的计数公式 $C_4^2(C_4^3C_2^1+C_4^2)$ 是如何推导的？

适用条件

• 球是不同的。
• 盒子是不同的。
• 必须恰好有两个盒子为空，这意味着另外两个必须非空。

理解与推导

1. 从 4 个中选择 2 个空盒子：$C_4^2$。
2. 识别剩余 2 个盒子的两种可能占用模式：$3+1$ 和 $2+2$。
3. 计算 $3+1$ 模式的方法数：从 4 个球中选 3 个（$C_4^3$），并从 2 个占用盒子中选 1 个放这 3 个球（$C_2^1$）。剩下的 1 个球放入另一个盒子。
4. 计算 $2+2$ 模式的方法数：从 4 个球中选 2 个放入一个特定盒子（$C_4^2$）。剩下的 2 个球放入另一个盒子。
5. 将模式求和并乘以盒子选择数：$C_4^2 * (C_4^3*C_2^1 + C_4^2)$。

例子

视频写出 $P(B) = [C_4^2(C_4^3 C_2^1 + C_4^2)] / 4^4$。

容易误解的地方

• 在 $3+1$ 情况下忘记乘以 $C_2^1$，该项将 3 个球的组分配给特定的盒子。
• 在 $2+2$ 情况下通过将盒子视为无标签来重复计数（它们是不同的，所以为盒子 X 选 2 个球与为盒子 Y 选它们不同）。

观看对应讲解

相关概念

继续追问

• 这个表达式的数值是多少？
• 这个分子如何与分母 $4^4$ 结合以求出 $P(B)$？