如何应用估计引理来界定 $f(w) - f(a)$ 的积分？

适用条件

• 路径 $\gamma_z$ 是可求长的围道（具体来说是直线段）。
• 函数 f 在 $\gamma_z$ 上是连续的。
• 被积函数是 $f(w) - f(a)$。

理解与推导

1. 识别要被界定的积分：$\int_{\gamma_z} (f(w) - f(a)) dw$。
2. 陈述估计引理：$|\int_{\gamma} g(w) dw| \le \sup_{w \in \gamma} |g(w)| \cdot \text{length}(\gamma)$。
3. 代入 $g(w) = f(w) - f(a)$ 和 $\gamma = \gamma_z$。
4. 确定路径 $\gamma_z$ 的长度，即 a 和 z 之间的距离，也就是 $|z - a|$。
5. 应用引理得到界限：$\sup_{w \in \gamma_z} |f(w) - f(a)| \cdot |z - a|$。
6. 除以 $|z - a|$（来自差商）以将表达式简化为 $\sup_{w \in \gamma_z} |f(w) - f(a)|$。

例子

黑板上显示了不等式 $\le \frac{1}{|z-a|} \sup_{w \in \gamma_z} |f(w) - f(a)| \cdot |z-a|$，讲师解释说，“积分必须小于你在其上积分的区间上所取值的上确界……乘以区间的长度。”

容易误解的地方

• 忘记将上确界乘以路径的长度。
• 假设估计引理适用于在积分路径上不连续的函数。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么我们可以使用直线段来计算差商中的 $F(z) - F(a)$？
• 在这个复分析讲座中使用的 ML 不等式是什么？