如何计算矩形脉冲函数的傅里叶变换？

适用条件

• 函数定义为：当 $|t| \le 1$ 时 $f(t) = 1$，否则为 0。
• 傅里叶变换定义为 $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$。
• $\omega$ 是实数。

理解与推导

1. 写出傅里叶变换的定义：$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$。
2. 代入 $f(t)$ 的分段定义，将积分限限制在 $f(t)=1$ 的 $[-1, 1]$ 区间：$F(\omega) = \int_{-1}^{1} e^{-i\omega t} dt$。
3. 应用欧拉公式展开被积函数：$e^{-i\omega t} = \cos(\omega t) - i\sin(\omega t)$。
4. 将积分分为实部和虚部：$\int_{-1}^{1} \cos(\omega t) dt - i\int_{-1}^{1} \sin(\omega t) dt$。
5. 计算正弦积分：由于 $\sin(\omega t)$ 是奇函数且区间 $[-1, 1]$ 关于原点对称，$\int_{-1}^{1} \sin(\omega t) dt = 0$。
6. 计算余弦积分：由于 $\cos(\omega t)$ 是偶函数，$\int_{-1}^{1} \cos(\omega t) dt = 2\int_{0}^{1} \cos(\omega t) dt$。
7. 计算原函数：$2\int_{0}^{1} \cos(\omega t) dt = 2 \left[ \frac{\sin(\omega t)}{\omega} \right]_{0}^{1}$。
8. 代入上下限：$2 \left( \frac{\sin(\omega)}{\omega} - \frac{\sin(0)}{\omega} \right) = 2 \frac{\sin \omega}{\omega}$。
9. 得出结论 $F(\omega) = 2 \frac{\sin \omega}{\omega}$。
10. 注意当 $\omega=0$ 时，取极限得到 $F(0)=2$。

例子

视频在黑板上明确推导了这一点：'$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt = \int_{-1}^{1} e^{-i\omega t} dt = \int_{-1}^{1} (\cos \omega t - i \sin \omega t) dt = 2 \int_{0}^{1} \cos \omega t dt = 2 \left[ \frac{\sin \omega t}{\omega} \right]_{0}^{1} = 2 \frac{\sin \omega}{\omega}$'。

容易误解的地方

• 假设正弦项的积分不为零；由于在对称区间上的奇对称性，它消失了。
• 忘记根据 $f(t)$ 的支撑集将积分限从 $(-\infty, \infty)$ 调整为 $[-1, 1]$。
• 在求原函数步骤中混淆积分变量 ($t$) 和频率变量 ($\omega$)。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么选择矩形脉冲函数进行此推导？
• 傅里叶逆变换与狄利克雷积分有什么关系？
• 当 $\omega = 0$ 时，$F(\omega)$ 的值是多少？