如何从欧拉-拉格朗日方程得到测地线方程？

最小化长度泛函 $L$ 被描述为很棘手。当 $\lambda$ 是仿射参数时，最小化更简单的泛函 $F = \int_A^B g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j\,d\lambda$ 等价于最小化 $L$，而且要容易得多。

适用条件：$\lambda$ 必须是仿射参数。；在该条件下，$F$ 被用作 $L$ 的更简单的替代品。

测地线被视为时空中的曲线，并按分量写为参数 $\lambda$ 的函数。曲线的每个时空分量都可以表示为 $x^\mu = x^\mu(\lambda)$，这将几何对象转换为适合求导的坐标函数。

适用条件：$\lambda$ 是选定的曲线参数。；每个时空分量 $x^\mu$ 都表示为 $\lambda$ 的函数。

零测地线的特征是切向量范数为零，表示为 $\tilde{T}\cdot\tilde{T} \equiv g_{ij}T^iT^j = 0$。非零测地线的区别在于其切向量范数不为零，即 $g_{ij}T^iT^j \neq 0$。

适用条件：$\tilde{T}$ 是测地线的切向量。；$g_{ij}$ 是度规分量。；等于零定义了零情况，不为零定义了非零情况。

仿射参数是曲线参数 $\lambda$ 的特殊选择，使得切向量演化方程中的标量比例函数 $f(\lambda)$ 恒等于零。具体来说，切向量 $\tilde{T}$ 满足 $\frac{d\tilde{T}}{d\lambda} = f(\lambda)\tilde{T}$，如果对于所有 $\lambda$ 都有 $f(\lambda)=0$，则该参数是仿射的。

适用条件：$\tilde{T}$ 是测地线的切向量。；$f(\lambda)$ 是参数的标量函数。；仿射情况是对于所有 $\lambda$ 都有 $f(\lambda)=0$ 的子情况。

用于通过欧拉-拉格朗日方程最小化积分 $F$ 的拉格朗日量 $\mathscr{L}$ 是 $\mathscr{L} = g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j$。这是泛函 $F$ 的被积函数。

适用条件：应用于积分 $F$。；$\dot{x}^i$ 和 $\dot{x}^j$ 是关于 $\lambda$ 的导数。；$g_{ij}$ 是度规分量。