如何证明猜想 $2 + 4$ + ... + $2n = n(n+1)$ 的归纳步骤？

适用条件

• 归纳假设：$P(k)$ 为真。
• 目标：证明 $P(k+1)$ 为真。
• 代数操作涉及提取公因式。

理解与推导

1. 陈述归纳假设：$2 + 4$ + ... + $2k = k(k+1)$。
2. 写出 $P(k+1)$ 的左边：$2 + 4$ + ... + $2k + 2(k+1)$。
3. 代入假设：将 $2 + 4$ + ... + 2k 替换为 $k(k+1)$。
4. 简化：$k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)(k+2)$。
5. 计算 $P(k+1)$ 的右边：将 $n=k+1$ 代入 $n(n+1)$ 得到 ($k+1$)($k+1+1$) = ($k+1$)($k+2$)。
6. 比较左边和右边：它们完全相同。
7. 得出 $P(k)$ 蕴含 $P(k+1)$ 的结论。

例子

视频推导出：“$P(k+1)$_LHS = $2 + 4$ + ... + $2k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)(k+2)$。”然后显示“$P(k+1)$_RHS = ($k+1$)($k+1+1$) = ($k+1$)($k+2$)。”旁白确认：“因此，该片段表明 $P(k)$ 的假设真实性导致了 $P(k+1)$ 的真实性。”

容易误解的地方

• 忘记在左边加上新项 $2(k+1)$。
• 错误地对 $k(k+1) + 2(k+1)$ 进行因式分解。
• 将 $P(k)$ 的右边与 $P(k+1)$ 的右边混淆。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么 $k(k+1) + 2(k+1)$ 可以重写为 ($k+1$)($k+2$)？
• 归纳法证明的最终结论是什么？