如何定义 $L^\infty$ 空间？

适用条件

• f 是一个可测函数。
• 无穷范数 $\|f\|_\infty$ 已经被定义。

理解与推导

1. 将无穷范数 $\|f\|_\infty$ 定义为本质上确界。
2. 评估各种可测函数的无穷范数。
3. 收集所有无穷范数有限的可测函数。
4. 正式将该集合记为 $L^\infty$ 空间。

例子

视频在黑板上写下了定义：$L^{\infty}:=\{f\text{measurable}:\ \|f\|_{\infty}<+\infty\}$。

容易误解的地方

• 假设 $L^\infty$ 由处处有界的函数组成；它由本质有界（几乎处处有界）的函数组成。
• 将空间 $L^\infty$ 与经典意义上的所有有界函数集合混淆。

观看对应讲解

继续追问

• $L^p$ 空间和 $L^\infty$ 空间的定义有什么共同的构造模式？
• 当 $p = +\infty$ 时，$L^\infty$ 范数的定义是什么？