如何通过 p-范数定义 $L^p$ 函数空间？

适用条件

• p-范数 $\|f\|_p$ 已经被定义。
• f 是一个可测函数。

理解与推导

1. 为可测函数定义 p-范数 $\|f\|_p$。
2. 评估各种可测函数的 p-范数。
3. 收集所有计算出的 p-范数有限（小于 $+\infty$）的可测函数。
4. 正式将该集合记为 $L^p$ 空间。

例子

视频在黑板上写下了集合构造记号：$L^p := \{ f \text{ measurable} : \|f\|_p < +\infty \}$。

容易误解的地方

• 假设 $L^p$ 从一开始就固有地是一个巴拿赫空间；视频指出它最初只是一个集合，其线性空间和完备性结构需要在后续逐步验证。
• 混淆空间 $L^p$ 与范数 $\|f\|_p$；范数是一个值，而空间是该值有限的那些函数的集合。

观看对应讲解

继续追问

• 当 $p = +\infty$ 时，无穷范数的定义是什么？
• 如何定义 $L^\infty$ 空间？