如何从数学上表述从二维压缩坐标重建三维点？

适用条件

• 可用的压缩坐标向量 $\mathbf{z} \in \mathbb{R}^2$。
• 重建使用主成分方向 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$。
• 输出是 $\mathbb{R}^3$ 中的近似值 $\hat{\mathbf{x}}$。

理解与推导

1. 取二维压缩坐标 $z_1$ 和 $z_2$。
2. 将 $z_1$ 乘以第一个主成分方向向量 $\mathbf{v}_1$。
3. 将 $z_2$ 乘以第二个主成分方向向量 $\mathbf{v}_2$。
4. 将两个加权向量相加以获得重建的三维点 $\hat{\mathbf{x}}$。
5. 或者，将其表示为矩阵-向量乘积 $\mathbf{W}\mathbf{z}$。

例子

视频显示公式 $\hat{\mathbf{x}} = \mathbf{W}\mathbf{z} = z_1\mathbf{v}_1 + z_2\mathbf{v}_2$，同时动画展示蓝箭头将黄色二维点提升到青色三维点。

容易误解的地方

• 假设重建完美地恢复了原始三维点 $\mathbf{x}$。
• 认为重建矩阵 $\mathbf{W}$ 从 $\mathbb{R}^3$ 映射到 $\mathbb{R}^2$ 而不是相反。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么重建点被写为 $\hat{\mathbf{x}}$ 而不是 $\mathbf{x}$？
• PCA 中的重建误差是什么，如何可视化？