在嵌套区间证明中，如何证明上界序列 $(b_n)$ 是柯西列？

适用条件

• $m > n \in \mathbb{N}$。
• 序列 $(a_n)$ 和 $(b_n)$ 是通过二分法构造的。
• $b_n$ 是集合 $M$ 的上界，$a_n$ 是下界。

理解与推导

1. 从 $m > n$ 时的距离 $|b_n - b_m|$ 开始。
2. 用下界 $a_n$ 替换 $b_m$ 得到 $|b_n - a_n|$，因为 $a_n \le b_m \le b_n$。
3. 使用嵌套区间属性将 $|b_n - a_n|$ 限制为 $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}|b_1 - a_1|$。
4. 观察到当 $n \to \infty$ 时，$\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ 趋近于 0。
5. 得出 $|b_n - b_m|$ 可以变得任意小，证明 $(b_n)$ 是柯西列的结论。

例子

视频推导了估计式 $|b_n - b_m| \le \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}|b_1 - a_1|$，解释说因为区间长度在每一步减半，项之间的距离变得任意小，正式得出 $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 是柯西列的结论。

容易误解的地方

• 认为绝对值对于估计是严格必要的；旁白指出它是多余的，因为对于 $m > n$ 有 $b_n \ge b_m$。
• 假设序列 $(b_n)$ 是单调递增的；随着上界收紧，它是单调递减的。

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继续追问

• 为什么需要完备性公理来完成上确界存在性的证明？
• 单调收敛定理是什么？

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